ago 12, 2023 - lectura de 3 min

Semana 1 - Introducción

Del 14 de agosto al 18 de agosto.

Tarea semanal

Lunes

Discusión sobre lo que estudia la topologia, la topología diferencial, la geometría riemanniana etc

Comentamos que la geometría riemanniana es una matería de síntesis en la que convergen diversas áreas del conocimiento como:

  • álgebra lineal y multilineal
  • cálculo multivariable
  • topología
  • análisis
  • ecuaciones diferenciales
  • teoría de la relatividad general
  • etc.

Además de eso, discutimos someramente la clasificación de superficies mediante su género y cómo al generalizar este resultado se llega a la Conjetura de Poincaré. Dicho problema es uno de los resultados más importantes en la matemática contemporánea y su solución completa tomó casi un siglo. Algo destacable es que, si bien el enunciado de la conjetura es puramente topológico, su solución utiliza de forma escencial técnicas geométricas.

Véase también

Martes

A manera de introducción y para repasar algunas nociones importantes, comentamos diversas estructuras que se pueden definir sobre ℝⁿ como son:

Además mencionamos que en ℝⁿ hay más estructuras a las que usualmente no se les da nombre pero igualmente son importantes. Una de las más importantes de dichas estructuras es la noción de «rectitud» o línea recta, es decir, poder determinar cuando una cierta curva contínua (o diferenciable) \(γ: (a,b) \rightarrow ℝⁿ\) parametriza un segmento de recta.

De ahí discutimos la noción de «rectitud» que se basa en tener aceleración cero, y aquella basada en la idea de minimizar longitud.

Comentamos qué de todo esto se podría extender a subconjuntos propios de ℝⁿ, y cómo la noción de longitud de curva como integral de la norma de la velocidad es una idea que se puede aplicar en general. También mencionamos la noción de longitud de curvas como limite de las longitudes de aproximaciones polinomiales (sobre espacios métricos) y mencionamos que si en un «espacio abstracto» se tiene una forma de medir longitudes de curvas, entonces se puede definir una nueva métrica tomando como distancia entre dos puntos el ínfimo de las longitudes de las curvas que los conectan.

Exploramos brevemente cómo funcionaría esto para el caso de la esfera 𝕊² en ℝ³ y cómo en este caso se obtiene una métrica que es distinta de la métrica usual de ℝ³ restringida a 𝕊². En este ejemplo resulta claro que pérfectamente se puede hablar de curvas con longitud mínima, pero estas curvas no tienen aceleración cero, al menos en la noción usual de aceleración de ℝ³. A lo largo del curso será necesario desarrollar otra forma de calcular la aceleración de curvas, misma que repararía esta deficiencia.

Finalmente vimos simulaciones de curvas que se optimizan hasta ser geodésicas (minimizando su longitud) en diferentes espacios (semiplano superior, modelo de banda, proyección esterográfica etc)

Más adelante en el curso demostraremos un teorema que justifica dichas simulaciones (es decir, que para minimizar la longitud de una curva, hay que deformarla en dirección de sus vectores aceleración).

Véase también

Miércoles

Introducción a métricas conformes. Métrica hiperbólica en el semiplano superior. Mencionar que se puede probar que las geodésicas son rectas verticales y circulos ortogonales al eje x.

Jueves

Revisamos el último ejercicio de la tarea sobre transformaciones lineales. Demostramos que el único invariante de las transformaciones lineales es su rango.

Empezar a hablar de isometrías, y cómo en el caso de métricas conformes, no bastaría hablar de transformaciones lineales que preserven producto interno, sino de aplicaciones diferenciables cuya derivada transforme adecuadamente los productos internos.

Explicar la idea de isometrías del plano como transformaciones que preservan distancias, pero más aún, como transformaciones que preservan el producto interno puntualmente bajo la derivada.