Semana 4 - Subvariedades y sumersiones
Del 4 de septiembre al 8 de septiembre
Lunes
Ejemplo de atlas diferenciable para la esfera de dimensión n 𝕊ⁿ y cómo la cantidad de cartas que se requiere usar aumenta con la dimensión (al menos para ese tipo de atlas).
Comentamos la necesidad de tener herramientas (teoremas) para poder producir fácilmente ejemplos de variedades, pues definir a mano cartas y atlas resulta laborioso salvo en casos muy simples.
A pesar de que definir variedades diferenciales como una estructura adicional sobre variedades topológicas (mismas que pueden ser espacios topológicos abstractos) se traduce en una mayor generalidad y flexibilidad, en la práctica casi todas las variedades con las que se trabajará son variedades que «viven» dentro de algún espacio euclideano.
Motivados por esto, definimos la noción de función diferenciable con dominio un conjunto arbitrario (no necesariamente abierto) de algún espacio euclideano tal como se hace en [GP].
Mencionamos el teorema de Whitney y cómo dicho teorema garantiza que no se pierde generalidad al hablar únicamente de variedades que estén dentro de un espacio ambiente euclideano.
Para poder encontrar una manera eficiente de hablar de subconjuntos de ℝⁿ y poder demostrar que son variedades, empezamos con el caso análogo de describir subespacios vectoriales k-dimensionales de un cierto espacio vectorial de referencia.
Se tienen esencialmente cuatro posiblidades:
- Tomar el espacio generado por un conjunto de k elementos linealmente independientes.
- Tomar la imagen de una transformación inyectiva $$ \mathbb R^k \rightarrow V $$
- Tomar el núcleo de una transformación suprayectiva $$ V \to \mathbb R^{n-k} $$
- «Transportar» el subespacio $ \mathbb R^k \times \{0\}$ bajo un isomorfismo $$ \mathbb R^n \to V $$
Si bien esto no se cumple identicamente en el contexto de la topología diferencia, veremos qué condiciones se deben agregar para poder producir variedades k-dimensionales dentro de un espacio euclideano.
Véase también
Martes
Vimos la definición de subvariedad de dimensión k de una variedad dada.
Esbozamos la demostración de que para toda subvariedad se puede definir un atlas natural que la hace variedad diferenciable.
En el caso de subvariedades de ℝⁿ, la definición se reduce a un concetpo más manejable y que no requiere la noción de atlas ni de espacios topológicos abstractos:
Una k-subvariedad Y de ℝⁿ es un subconjunto $ Y \subseteq \mathbb R^n$ tal que para todo punto $p \in Y$ existen abiertos $\mathcal U\subseteq \mathbb R^n$, $\mathcal V\subseteq \mathbb R^n$ y un difeomorfismo (en el sentido usual de funciones entre espacios euclideanos) $\varphi : \mathcal U \rightarrow \mathcal V$ tal que $ p\in \mathcal U$ y además $\varphi(Y \cap \mathcal U) = \mathbb R^k\times\{\vec 0\}\cap \mathcal V$.
Es decir, localmente el conjunto Y es equivalente a a un subespacio lineal de dimensión k de ℝⁿ.
A los difeomorfismos que cumplen la propiedad que cumple $\varphi$ en la definción anterior se les llama cartas de subvariedad para Y.
Un ejemplo de carta de subvariedad para el toro se puede ver en el siguiente video.
Una vez que tenemos esta definición, que es bastante más manejable que la definición abatracta de variedad diferenciable, ahora nos enfocamos en obtener teoremas que permiten dar ejemplos de subvariedades de ℝⁿ.
Tratando de imitar la construcción de subespacios vectoriales de dimensión k de un cierto espacio vectorial de dimensión n, víendolo como núcleo de una transformación suprayectiva, llegamos a la siguiente proposición:
Dada una función $f:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^{n-k}$ y un punto $c \in \mathbb R^{n-k}$, definimos el conjunto $Y = f^{-1}(c)$. Si se cumple que para todo punto $p\in Y$ la diferencial $D_pf$ es suprayectiva, entonces $Y$ es una subvariedad de $\mathbb R^n$.
Antes de demostrar esta afirmación en toda generalidad analizamos cómo sería la prueba para el caso de la función norma cuadrada en $\mathbb R^2$ y tomando $c = 1$. En este caso el conjunto $Y$ es el círculo unitario $\mathbb S^1$.