Semana 6 - Campos tensoriales

Del 18 de septiembre al 22 de septiembre

Tarea semanal 5

Lunes

Recordemos que ya definimos los espacios tangentes geométrico y algebraico, así como las aplicaciones tangentes correspondientes y además una forma de convertir los elementos del tangente geométrico en derivaciones. Hay que recalcar que aún no demostramos que el espacio tangente geométrico realmente es un espacio vectorial.

Enunciamos a continuación algunas propiedades importantes de dichos objetos.

En lo que sige, sean \(X\), \(Y\) y \(Z\) variedades, \(\varphi: X \to Y\) y \(\psi : Y \to Z\) funciones diferenciables y \(p\in X\), \(q = \varphi(p)\) y \(r = \psi(q)\) puntos.

Martes

Bases del espacio tangente asociadas a cartas

Sea \(X\) una variedad y \(\varphi: \mathcal U \to \mathcal V\) una carta de \(X\).

Recordemos que podemos pensar a \(\varphi\) como una función diferenciable¹ de \(\mathcal U\) a un abierto de \(\mathbb R^n\) y que su aplicación tangente (ya sea geométrica o algebraica) es un isomorfismo de espacios vectoriales.

Para cada punto \(p \in \mathcal U\) podemos definir una base en \(T^A_{\varphi(p)}\mathbb R^n\) como \[\left\{\partial_i|_{\varphi(p)}\right\}_{i=1}^n\] es decir, la base de las parciales vistas como derivaciones en \(\varphi(p))\).

También podemos definir una base de \(T^G_{\varphi(p)}\mathbb R^n\) como sige: Para cada \(i\) definimos una curva \(\gamma_i(t) = \varphi(p) + te_i\). Es decir, la curva que pasa por \(\varphi(p)\) y que tiene velocidad constante igual a \(e_i\).

De esta forma, la base para el tangente geométrico está dada por: \[\{[\gamma_i] \}_{i=1}^n.\]

Notemos que dichas bases corresponden una con la otra bajo el isomorfismo natural entre \(T^A_{\varphi(p)}\mathbb R^n\) y \(T^G_{\varphi(p)}\mathbb R^n\).

Dado que la función \(\varphi \) es un difeomorfismo local, las transformaciones \(T^A_p\varphi\) y \(T^G_g\varphi\) son isomorfismos lineales, por lo que podemos usarlos para «transportar» las dos bases antes definidas y obtener bases de los espacios tangentes en \(X\).

Las bases que obtenemos son: \[\left\{T^A_{\varphi(p)}\varphi^{-1}\left(\partial_i|_{\varphi(p)}\right)\right\}_{i=1}^n\] que genera \(T^A_pX\) y

\[\left\{T^G_{\varphi(p)}\varphi^{-1}\left([\gamma_i]\right)\right\}_{i=1}^n\] que genera \(T^G_pX\).

Veamos más explícitamente cómo se comportan dichas bases:

Para el caso de derivaciones, recordemos que una derivación está determinada por su acción en funciones diferenciables localmente definidas cerca de \(p\). Asi, tomemos \(f\in C^\infty_pX\) y calculemos \[T^A_{\varphi(p)}\varphi^{-1}\left(\partial_i|_{\varphi(p)}\right)(f).\] Por cómo se define la aplicación tangente en derivaciones, tenemos: \[ \begin{aligned} T^A_{\varphi(p)}\varphi^{-1}\left(\partial_i|_{\varphi(p)}\right) (f) &= \partial_i|_{\varphi(p)}(f\circ \varphi^{-1})\\ &= \frac{\partial }{\partial x_i}f\circ \varphi^{-1}\Big|_{\varphi(p)} \end{aligned} \] es decir, obtenemos la i-ésima derivada parcial de la función \(f\circ\varphi^{-1}\), misma que no es otra cosa sino la representación en coordenadas locales de la función \(f\).

Por otro lado, para el caso del tangente geométrico, tenemos: \[ T^G_{\varphi(p)}\varphi^{-1}\left([\gamma_i]\right) = [\varphi^{-1}\circ \gamma_i] \] Notemos que la curva \(\varphi^{-1}\circ\gamma_i\) está dada por: \[\varphi^{-1}\circ\gamma_i(t) = \varphi^{-1}(\gamma_i(t)) = \varphi^{-1}(\varphi(p) + te_i)\] es decir, es una curva que pasa por \(p\) y además corresponde a una curva coordenada bajo \(\varphi\).

Otro punto a destacar es que esta construcción se puede realizar para cualquier punto en el dominio de la carta, por lo que podemos pensar que es una familia de bases parametrizada por los puntos de \(\mathcal U\).

Campos tensoriales

Ahora que hemos definido y explorado las propiedades más importantes de los espacios tangentes de una variedad arbitraria tenemos lo necesario para definir uno de los conceptos centrales en geomería y topología diferencial: los campos tensoriales.

Un \(\binom{\ell}{m}\)-campo tensorial² \(\omega\) sobre una variedad \(X\) es una función \[\omega: X \to \bigsqcup_{p\in X} T^\ell_m T_pX\] tal que para todo punto \(p\in X\) se satisface: \[\omega(p) \in T^\ell_m T_pX.\]

Más adelante veremos una forma más concreta de describir un campo tensorial, y además definiremos la noción de campo tensorial diferenciable.

Miércoles

Introducimos una notación para las bases del espacio tangente que se definieron anteriormente:

Dada una variedad \(X\), una carta coordenada \(\varphi: \mathcal U \to \mathcal V \subseteq \mathbb R^n\) y un punto \(p\in \mathcal U\), definimos:

\[ \partial_i^\varphi\big|_p \colonequals \operatorname{T}_{\varphi(p)}\varphi^{-1}(\partial_i|_p) \]

Denotaremos la base dual a dicha base por: \[ dx^i_\varphi\big|_p \]

Utilizaremos esta base para calcular los coeficientes de un campo tensorial dado:

Recordemos que si \(\omega \in T^\ell_m V \) es un tensor sobre un espacio vectorial \(V\), y \(\beta = \{e_1, \ldots, e_n\}\) es una base con base dual \(\beta^* = \{\alpha^1, \ldots, \alpha^n\}\) entonces definimos los coeficientes de \(\omega\) con respecto a dichas bases como:

\[\omega^{i_1i_2\cdots i_\ell}_{j_1j_2\cdots j_m}\colonequals \omega(\alpha^{i_1},\alpha^{i_2},\ldots, \alpha^{i_\ell}, e_{j_1}, e_{j_2},\ldots, e_{j_m}) \]

Ahora apliquemos la igualdad anterior al caso de un campo tensorial en la variead \(X\):

Si \(\omega\) es un campo tensorial, y \(p\in\mathcal U\) un punto abitrario en el dominio de la carta, entonces podemos calcular los coeficientes de \(\omega(p)\) con respecto a la base del espacio tangente antes descrita: \[\omega^{i_1i_2\cdots i_\ell}_{j_1j_2\cdots j_m}(p)^\varphi\colonequals \omega\left(dx^{i_1}_\varphi|_p,dx^{i_2}_\varphi|_p,\ldots,dx^{i_\ell}_\varphi|_p,~ \partial^\varphi_{j_1}|_p,~ \partial_{j_2}^\varphi|_p,\ldots, \partial_{j_m}^\varphi|_p\right). \]

Notemos que dicha expresión produce un número real, depende del punto \(p\) y también depende de la carta \(\varphi\).³

Así podemos pensar que los coeficientes de \(\omega\) con respecto a la carta \(\varphi\) son funciones: \[\omega^{i_1i_2\cdots i_\ell}_{j_1j_2\cdots j_m}: \mathcal U\longrightarrow\mathbb R^n. \]

Inversamente, sabemos que se puede reconstruir al tensor original a partir de sus coeficientes y la base del espacio vectorial, por lo que podemos afirmar que si se tienen funciones \(\omega^{i_1i_2\cdots i_\ell}_{j_1j_2\cdots j_m}\) definidas en el dominio de una carta, entonces estas definen un campo tensorial sobre dicho abierto.

Ahora tenemos los ingredientes necesarios para la siguiente definición:

Un campo tensorial \(\omega\) es diferenciable si para toda carta coordenada \(\varphi:\mathcal U\to \mathcal V \subseteq \mathbb R^n\) los coeficientes de \(\omega\) con respecto a dicha carta son funciones diferenciables.

Para ver que esta definición tiene sentido y poder producir abundantes ejemplos de campos tensoriales diferenciables, necesitamos analizar cómo cambian los coeficientes del campo cuando se cambia de carta coordenada.

Es claro que la dependencia de los coeficientes del tensor con respecto a la carta radica en la dependencia de la base del espacio tangente en la base. Así, necesitamos analizar dos fenómenos distintos:

• Cómo cambia la base del tangente al cambiar de carta
• Cómo cambian los coeficientes de un tensor al cambiar de base