Álgebra lineal
En este apéndice mencionaremos algunos resultados de álgebra lineal que utilizaremos frecuentemente.
En principio, son resultados básicos que en cualquier curso de álgebra lineal deberían cubrirse, aunque posiblemente el lenguaje o la formulación que daremos no sea tan común.
Por simplicidad, en lo que sigue asumiremos que todos los espacios vectoriales son reales y de dimensión finita.
Propiedad universal de las bases
Clasificación de espacios vectoriales y de transformaciones lineales
El resultado más importante del álgebra lineal es la clasificación salvo isomorfismo de los espacios vectoriales:
Teorema: el único invariante de un espacio vectorial es su dimensión. Es decir, dos espacios vectoriales \(V\) y \(W\) son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión.
Corolario Todo espacio vectorial es isomorfo a algún \(\mathbb R^n\) para algún \(n\in \mathbb N\).
No solo los espacios vectoriales son fáciles de clasficar, sino también las transformaciones lineales.
Recordemos antes algunas definiciones:
Sea \(T: V \rightarrow W\) una transformación lineal entre dos espacios vectoriales.
Definición Se define la nulidad de la transformación \(T\) como la dimensión del núcleo de \(T\). Por otro lado, el rango de \(T\) se define como la dimensión de la imagen de la transformación.
Notemos que la nulidad siempre es menor o igual que la dimensión del dominio, y el rango siempre es menor o igual que la dimensión del codominio.
Teorema (de la nulidad y el rango): Dada cualquier transformación lineal \(T: V\rightarrow W \) se cumple la igualdad: \[ \text{nulidad}(T) + \text{rango}(T) = \text{dim}(V)\]
Corolario El rango satisface: \[\text{rango}(T) \leq \min \{\text{dim}(V), \text{dim}(W)\}\]
Para poder clasificar las transformaciones lineales, es necesario primero definir una noción adecuada de equivalencia:
Definición: Decimos que dos transformaciones lineales \[T_1: V_1 \rightarrow W_1\] \[T_2: V_2 \rightarrow W_2\] son equivalentes si existen dos isomorfismos lineales \[\varphi: V_1 \rightarrow V_2\] y \[\psi: W_1 \rightarrow W_2\] tales que el siguiente diagrama conmuta: \[ \require{amscd} \begin{CD} V_1 @>{T_1}>> W_1\\ @V{\varphi}VV @VV{\psi}V \\ V_2 @>>{T_2}> W_2 \end{CD} \]
Con esto, podemos enunciar el teorema de clasificación de transformaciones lineales:
Teorema Los únicos invariantes de una transformación lineal son las dimensiones del dominio y del codominio, así como el rango de la transformación.
Dicho de otro modo, dos transformaciones lineales \[T_1: V_1 \rightarrow W_1\] \[T_2: V_2 \rightarrow W_2\] son equivalentes si y solo si: \[\text{dim}(V_1) = \text{dim}(V_2)\] \[\text{dim}(W_1) = \text{dim}(W_2)\] y \[\text{rango}(T_1) = \text{rango}(T_2)\]
Corolario Cualquier transformación lineal \(T: V \rightarrow W\) es equivalente a una transformación \[f: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m\] dada por \[ f(x_1, \ldots, x_k, x_{k+1}, \ldots, x_n) = (x_1, \ldots, x_k, 0, \ldots, 0)\] donde \(k\) es el rango de \(T\).