Teorema de Sard

En esta subsección enunciamos el teorema de Sard. Diferimos la demostración a un apéndice.

Teorema (de sard):

Sean \(M\) y \(N\) dos variedades diferenciales y sea \(f:M\rightarrow N\) una función diferenciable. Los valores críticos de \(f\) forman un conjunto de medida cero de la variedad \(N\).

Recordemos que un punto \(q\in N\) es un valor crítico de \(f\) si existe un punto \(p\in M\) tal que \(f(p)=q\) y además \(T_pf\) no es suprayectiva.

Como ya mencionamos, la prueba de este teorema se puede consultar en el apéndice.

Mencionamos a continuación algunos corolarios sencillos del teorema de Sard.

Corolario Si la dimensión de \(N\) es por lo menos uno, entonces los valores regulares de cualquier función \(f:M\rightarrow N\) forman un conjunto denso.

Corolario Si la dimensión de \(M\) es menor que la dimensión de \(N\), entonces ninguna función diferenciable \(f:M\rightarrow N\) puede ser suprayectiva.

Otro corolario interesante, mismo que empieza a evidenciar las conexiones con la topología algebraica es el siguiente:

Corolario Sea \(\gamma : \mathbb S^k \rightarrow \mathbb S^n\) con \(n> k\). Entonces \(\gamma\) es homotópica a una función constante.