Épsilon vecindades

Para demostrar que el teorema de genericidad para familias implica la versión original del teorema, necesitaremos una forma de definir familias de funciones que «extiendan» una función diferenciable dada.

Para esto, la herramienta fundamental será la existencia de épsilon vecindades.

Definición Sea \(N \subseteq \mathbb R^n\) una variedad, y sea \(\epsilon : N \rightarrow \mathbb R_{>0}\) una función diferenciable y positiva. La épsilon vecindad de \(N\) determinada por \(\epsilon\) es el conjutno \[ N^\epsilon : = \{p\in \mathbb R^n ~|~ d(p, q) < \epsilon(q) \text{ para algun }q\in N\} \]

Notemos que si tenemos dos funciones \(\epsilon_1\) y \(\epsilon_2\) tales que \(\epsilon_1 \leq \epsilon_2\), entonces las correspondientes épsilon vecindades cumplen: \[N^{\epsilon_1} \subseteq N^{\epsilon_2}\]

Además, si la variedad es compacta, cualquier épsilon vecindad contiene una épsilon vecindad correspondiente a una función constante.

Las épsilon vecindades cobran relevancia cuando la función que las define es suficientemente pequeña:

Teorema

Sea \(N \subseteq \mathbb R^n\) una variedad arbitraria. Existe una función positiva \(\epsilon : N \rightarrow \mathbb R_{>0}\) tal que \(N^\epsilon\) es una vecindad abierta de \(N\) y además, para cada punto \(p\in N^\epsilon\) existe un único punto más cercano a \(p\) en \(N\).

Más aún, si definimos la función \(\pi : N^\epsilon \rightarrow N\) de tal forma que \(\pi(p)\) es el punto más cercano de \(N\) a \(p\), entonces la función \(\pi\) es diferenciable, es una sumersión suprayectiva, y \(\pi|_N\) es la identidad.