EDOs y flujos
Definición Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias autónomo y de primer orden está determinado por una función: \[V: \mathcal U \rightarrow \mathbb R^n\] donde \(\mathcal U\) es un abierto de \(\mathbb R^n\).
Una solución de dicho sistema con condición inicial \(x_0\in \mathcal U\) es una función diferenciable \(\gamma : (a,b) \rightarrow \mathcal U\) que satisface:
- \(\gamma(0) = x_0\)
- \(\frac{d\gamma}{dt}(t) = V(\gamma(t)))\) para todo \(t\in (a,b)\)
Usualmente las condiciones anteriores se expresan en coordenadas obteniendo las siguientes ecuaciones:
\[\begin{align} x_i(0) & = & (x_0)_i \\ \dot{x}_1(t) & = & V_1(x_1(t), \ldots, x_n(t)) \\ \vdots ~~ & = & \vdots \\ \dot{x}_n(t) & = & V_n(x_1(t), \ldots, x_n(t)) \\ \end{align} \]
También diremos que \(V\) es un campo vectorial sobre el abierto \(\mathcal U\) y que \(\gamma\) es una curva integral del campo.
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| Un campo vectorial sobre un abierto de \(\mathbb R^2\) |
El teorema más importante en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias es el que establece la existencia, unicidad y diferenciabilidad de las soluciones.
Teorema
Dado un campo vectorial \(V: \mathcal U \rightarrow \mathbb R^n\) y dado un punto \(p\in \mathcal U\) existe una transformación diferenciable \( \Gamma : \mathcal V \times (a,b) \rightarrow \mathcal U\) donde \(\mathcal V\) es un abierto de \(\mathcal U\) y \((p, 0) \in \mathcal V \times (a,b)\) que cumple:
- \(\Gamma (q, 0) = q\) para todo \(q\in \mathcal V\)
- la curva \(\Gamma(q, t)\) con \(q\) fija es curva integral de \(V\) con condición inicial dada por \(q\).
Además, si \(\gamma: (c,d) \rightarrow \mathcal U\) es cualquier curva integral de \(V\) y \(p_0 = \gamma(0) \in \mathcal V\) entonces \(\gamma\) coincide con \(\Gamma(p_0,t)\) en la intersección de sus dominios.
Hay dos maneras de interpretar la función \(\Gamma\):
- para un punto dado \(p_0 \in \mathcal V\) la función \(\Gamma(p_0, t)\) es una curva (de hecho una curva integral)
- para un tiempo dado \(t_0\in (a,b) \) la función \(\Gamma(q, t_0)\) es una transformación de \(\mathcal V \) en \(\mathcal U\), así podemos pensar que \(\Gamma\) es una familia uniparamétrica de transformaciones diferenciales, donde además en el instante cero es la inclusión de \(\mathcal V\) en \(\mathcal U\).
Notemos que si \(\Gamma(p, s) \in \mathcal U\) y para \(t\) pequeño, las dos curvas \(\Gamma(p, s + t)\) y \(\Gamma(\Gamma(p, s), t)\) son curvas integrales del campo y ambas tienen condición inicial dada por \(\Gamma(p, s)\) por lo que por la unicidad de las soluciones, son iguales.
Combinando este hecho con el teorema anterior, se puede demostrar:
Teorema
Dado un campo vectorial \(V: \mathcal U \rightarrow \mathbb R^n\) existe un abierto \(\mathcal W \subseteq \mathcal U \times \mathbb R\) tal que \(\mathcal U \times \{0\} \subseteq \mathcal W\) y una transformación diferenciable \( \Gamma : \mathcal W \rightarrow \mathcal U\) que cumple:
- \(\Gamma (q, 0) = q\) para todo \(q\in \mathcal U\)
- la curva \(\Gamma(q, t)\) con \(q\) fija es curva integral de \(V\) con condición inicial dada por \(q\).
- \(\Gamma(p, s + t) = \Gamma(\Gamma(p, s), t)\) siempre que ambos lados estén definidos
Además, la intersección \(\{p_0\}\times \mathbb R \cap \mathcal W\) es de la forma \(\{p_0\} \times I\) donde \(I\) es un intervalo posiblemenete infinito y es el máximo intervalo en donde existe la solución a la ecuación diferencial con condición inicial \(p_0\).
Definición A una transformación \(\Gamma : \mathcal W \rightarrow \mathcal U\) que cumpla las propiedades del teorema anterior se le llama flujo local. Si el conjunto \(\mathcal W\) es todo \(\mathcal U \times \mathbb R\) decimos que es un flujo global o simplemente flujo.