Otras definiciones de variedad diferenciable
Teorema Sea \(X\subseteq \mathbb R^n\) un conjunto arbitrario. Las siguientes condiciones son equivalentes:
- \(X\) es una k-variedad
- \(X\) es una k-subvariedad de \(\mathbb R^n\)
- \(X\) es localmente el conjunto de nivel de una sumersión:
para todo punto \(p\in X\) existe una vecindad abierta de \(p\)
y una función \(f:\mathcal U \rightarrow \mathbb R^{n-k}\) tales que:
- \(f^{-1}(c) = X \cap \mathcal U\)
- \(D_qf\) es suprayectiva para todo \(q\in \mathcal U\)
Demostración Demostraremos primero que (2) implica (1) y (3).
Sea \(p \in X\) un punto arbitrario, y sea \(\phi: \mathcal U \rightarrow \mathbb R^n\) una carta de subvariedad alrededor de \(p\), es decir, \(\phi\) es un difeomorfismo y \(\phi(\mathcal U\cap X) = \phi(\mathcal U)\cap\mathbb R^k\times {0}\).
Consideremos la función \(\psi = \pi_{k}\circ\phi\) donde \(\pi_k\) es la proyección en las primeras k coordenadas. Entonces es claro que \(\psi\) es un difeomorfismo entre \(\mathcal U\) y un abierto de \(\mathbb R^k\), es decir, es una carta para \(X\).
Por otro lado, podemos definir la función \(f = \pi_{n-k}\circ \phi\) donde \(\pi_{n-k}\) es la proyección en las últimas \(n-k\) coordenadas. Dado que \(\phi\) es un difeomorfismo, su derivada en cada punto es un isomorfismo lineal; por otro lado, \(\pi_{n-k}\) es lineal, por lo que es igual a su propia derivada y en particular su derivada es suprayectiva. Así, la función \(f\) tiene derivada suprayectiva en todo punto de su dominio. Por otro lado, es claro que \(f^{-1}(0) = X \cap \mathcal U\).
Como el elemento \(p\) era arbitrario, con esto demostramos que \(X\) satisface tanto (1) como (3).
La demostración de que (3) implica (2) es simplemente una reformulación del teorema que clasifica los gérmenes de funciones con derivada suprayectiva.
Así, resta únicamente demostrar que (1) implica (2) para concluir con la demostración del teorema.
Para esto, supongamos que \(X\) es una k-variedad y sea \(p\in X\) un punto arbitrario. Dado que \(X\) es una \(k-variedad\), existe un abierto \(\mathcal U\) de \(\mathbb R^n\) y un difeomorfismo \(\psi: X\cap\mathcal U \rightarrow \mathbb R^k\) tal que \(p\in \mathcal U\) y \(\psi(p)=0\).
Sea \(\Psi\) una extensión diferenciable de \(\psi\). Podemos suponer sin pérdida de generalidad que el dominio de \(\Psi\) es todo \(\mathcal U\). De esta forma tenemos las igualdades: \[\Psi \circ\psi^{-1} = Id\] \[D_p\Psi \circ D_0\psi^{-1} = D_0Id\] con lo que podemos concluir que \(D_p\Psi\) es suprayectiva y \(D_0\psi^{-1}\) es inyectiva.
Por el teorema de clasificación de los gérmenes de funciones con derivada inyectiva, podemos afirmar que existen abiertos \(\mathcal V_1 \subseteq \mathbb R^k\) y \(\mathcal V_2\subseteq \mathbb R^n\) y un difeomorfismo \(\phi: \mathcal V_2 \rightarrow \mathbb R^n\) tales que \(\psi^{-1}(\mathcal V_1)\subseteq \mathcal V_2\) y además \(\phi\circ\psi^{-1}(x_1, \ldots, x_k) = (x_1, \ldots, x_k, 0, \ldots, 0)\). El difeomorfismo \(\phi\) es el difeomorfismo buscado, sin embargo, aún hay que justificar por qué se cumple que la imagen de \(X\cap \mathcal V_2\) bajo \(\phi\) es el conjunto \(\mathbb R^k \times {0}\cap \phi(\mathcal V_2)\).
Ahora, dado que \(\psi\) es un difeomorfismo, en particular es un homeomorfismo, por lo que \(\psi^{-1}\) es una transformación abierta.
Con esto podemos garantizar que \(\psi^{-1}(\mathcal V_1)\) es un abierto relativo de \(X\subseteq \mathbb R^n\), es decir, existe un abierto\(\mathcal V_3\) de \(\mathbb R^n\) tal que \(\mathcal V_3 \cap X = \psi^{-1}(\mathcal V_1)\)
De esta forma, si restringimos el difeomorfismo \(\phi\) al abierto \(\mathcal V_3\) vemos que se tiene la propiedad buscada: si \(q\in X\cap V_3\), entonces \(q\in \psi^{-1}(V_1)\), por lo que \(q = \psi^{-1}(x_1, \ldots, x_k)\) y \(\phi(q) = \phi(\psi^{-1}(x_1, \ldots, x_k)) = (x_1, \ldots, x_k, 0, \ldots, 0)\), es decir \[\phi(X\cap \mathcal V_3)\subseteq \mathbb R^k \times {0}\] como se deseaba. Esto demuestra que \(X\) es una k-subvariedad de \(\mathbb R^n\).