Estabilidad

El objetivo de esta sección es definir la noción de estabilidad para propiedades de funciones diferenciables y posteriormente demostrar que muchas de las propiedades con las que hemos trabajado son estables.

Definición Sean $M$ y $N$ dos variedades diferenciables. Diremos que una propiedad P de funciones diferenciables de $M$ a $N$ es estable cuando dada cualquier homotopía diferenciable $h:M\times [0,1]\to N$ si la función $h_0$ cumple la propiedad P, entonces existe un $ϵ>0$ tal que todas las funciones $h_t$ con $t<ϵ$ también cumplen la propiedad P.

Si denotamos al conjunto de funciones diferenciables de $M$ a $N$ por $C^{\mathrm{\infty }}(M,N)$ entonces cada propiedad P de funciones define un subconjunto: $$C^{\mathrm{\infty }}(M,N{)}_P:=\{f\in C^{\mathrm{\infty }}(M,N)|P(f)\}$$

Si dotaramos al conjunto $C^{\mathrm{\infty }}(M,N)$ de una topología sensata, donde en particular las homotopías dieran lugar a trayectorias continuas, otra forma de definir la estabilidad de una propiedad P sería decir que el conjunto $C^{\mathrm{\infty }}(M,N){)}_P$ es un conjunto abierto.

De forma coloquial, podríamos decir que una propiedad P es estable cuando perturbaciones pequeñas de una función que cumpla P, también cumplen P.

El resultado principal de esta sección es el siguiente teorema:

Teorema (de estabilidad)

Sea $M$ una variedad compacta y $N$ otra variedad. Sea $Z\subseteq N$ una subvariedad cerrada.

Las siguientes propiedades de funciones diferenciables de $M$ a $N$ son estables:

• ser difeomorfismo
• ser difeomorfismo local
• ser sumersión
• ser inmersión
• ser transversal a $Z$

Demostración:

Demostremos ahora el caso de transversalidad a la subvariedad $Z$.

Para esto, sea $h:M\times [0,1]\to N$ una homotopía diferenciable, y llamémosle $f$ a la función $h_0$.

Asumamos que $f$ es una función transversal a $Z$. Queremos demostrar que existe un $ϵ>0$ tal que para todo $t<ϵ$ se cumple que $h_t$ es transversal a $Z$.

Definamos el siguiente conjunto:

$$X:=\{(p,t)\in M\times [0,1]|h(p,t)\notin Z\text{ o bien }\mathrm{im}(T_p{h}_t)+T_{h(p,t)}Z=T_{h(p,t)}N\}$$

Notemos que $h_t$ es transversal a $Z$ si y solo si $M\times \{t\}\subseteq X$.

Dado que $f$ es transversal a $Z$, concluimos que $M\times \{0\}\subseteq X$. Demostraremos ahora que $X$ contiene una vecindad abierta de dicho conjunto. Para esto, procedamos por reducción al absurdo.

Así, sean $(p_i,t_i)\notin X$ una sucesión de puntos que convergen a $(p,0)$.

Dado que ningún punto de dicha sucesión pertenece al conjunto $X$, entonces se cumple que $h(p_i,t_i)\in Z$ para todo $i$, y dado que la variedad $Z$ es cerrada y $h$ contínua, podemos concluir que $h(p,0)=h(lim{p}_i,lim{t}_i)=limh(p_i,t_i)\in Z$. Dado que $(p,0)\in X$, podemos concluir que $$\mathrm{im}(T_{p}f)+T_{f(p)}Z=T_{f(p)}N.$$

Consideremos ahora un subespacio $W\le T_{p}M$ tal que su imagen bajo $T_{p}f$ es complementaria a $T_{f(p)}$.

Como $Z$ es una subvariedad de $N$, y por la definición de $W$, podemos encontrar una carta coordenada $\varphi :\mathcal{U}\to {\mathbb{R}}^n$ centrada en $f(p)$ que satisface: $$\varphi (\mathcal{U}\cap Z)=\{0\}\times {\mathbb{R}}^k$$ $$T_{f(p)}\varphi (T_{p}f(W))={\mathbb{R}}^{n-k}\times \{0\}$$

Es decir, localmente $Z$ corresponde al hiperplano coordenado $\{0\}\times {\mathbb{R}}^k$ y la diferencial de $\varphi$ lleva a $T_f(W)$ a un subespacio complementario a dicho hiperplano.

Tomemos ahora una carta coordenada $\psi$ de $M$ centrada en $p$ y tal que $T_p\psi (W)=R^{n-k}\times \{0\}$.

Si expresamos la diferencial de $f$ en $p$ de forma matricial en dichas coordenadas, obtenemos una matriz de la forma:

$$[T_{p}f]=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ 0& C\end{array}\right]$$

En donde la matriz $A$ es una matriz cuadrada de tamaño $n-k$ y es no singular pues la imagen de $W$ bajo $T_{p}f$ es un subespacio de dimensión $n-k$.

Podemos utilizar las mismas coordenadas para expresar la diferencial de la función $h_t$ en puntos cercanos a $p$, en particular, podemos asegurar la existencia de un abierto $\mathcal{V}\subseteq X$ que sea vecindad de $(p,0)$ y dónde tiene sentido usar las coordenadas $\psi$ y $\varphi$ para expresar la matriz de la transformación $T_q{h}_t$ con $(q,t)\in \mathcal{V}$.

Sea $A:\mathcal{V}\to {\mathrm{Mat}}_{n-k\times n-k}(\mathbb{R})$ la función que a cada punto $(q,t)$ le asigna la matriz $A(q,t)$ que es la submatriz de los primeros $n-k$ renglones y columnas de la matriz de $T_q{h}_t$ en las coordenadas mencionadas. Si consideramos la función $\det (A(q,t))$, que es una función continua al ser composición de funciones continuas, y dado que $A(p,0)$ es una matriz no singular, podemos concluir que en una vecindad de $(p,0)$ la matriz $A(q,t)$ es no singular.

En particular, dado que la sucesión $(p_i,t_i)$ converge a $(p,0)$, podemos concluir que existe $i_0$ tal que $A(p_{i_0},t_{i_0})$ es una matriz no singular. Esto último implica que la imagen de la transformación $T_q{h}_t$ contiene un subespacio complementario al espacio tangente a $Z$ en $f(q)$, lo que contradice que dicho punto no pertenezca a $X$.

Esto conlcuye la demostración de que $X$ contiene una vecindad abierta de $M\times \{0\}$.

Para terminar la demostración notemos que, por la compacidad de la variedad $M$, podemos encontrar una cantidad finita de abiertos ${\mathcal{U}}_i$ y números ${ϵ}_i>0$ tales que los abiertos cubren a $M$ y además ${\mathcal{U}}_i\times [0,{ϵ}_i)$ está contenido en $X$. En particular, $X$ contiene al conjunto $M\times [0,min\{{ϵ}_i\})$; esto implica que $h_t$ es transversal a $Z$ para todo $t<min\{{ϵ}_i\}$ como se quería demostrar.