Estabilidad

El objetivo de esta sección es definir la noción de estabilidad para propiedades de funciones diferenciables y posteriormente demostrar que muchas de las propiedades con las que hemos trabajado son estables.

Definición Sean \(M\) y \(N\) dos variedades diferenciables. Diremos que una propiedad P de funciones diferenciables de \(M\) a \(N\) es estable cuando dada cualquier homotopía diferenciable \(h: M \times [0,1]\rightarrow N\) si la función \(h_0\) cumple la propiedad P, entonces existe un \(\epsilon > 0\) tal que todas las funciones \(h_t\) con \(t< \epsilon\) también cumplen la propiedad P.

Si denotamos al conjunto de funciones diferenciables de \(M\) a \(N\) por \(C^\infty(M, N)\) entonces cada propiedad P de funciones define un subconjunto: \[C^\infty(M, N)_P:= \{ f \in C^\infty(M, N) ~|~ P(f)\}\]

Si dotaramos al conjunto \(C^\infty(M,N)\) de una topología sensata, donde en particular las homotopías dieran lugar a trayectorias continuas, otra forma de definir la estabilidad de una propiedad P sería decir que el conjunto \(C^\infty(M, N))_P\) es un conjunto abierto.

De forma coloquial, podríamos decir que una propiedad P es estable cuando perturbaciones pequeñas de una función que cumpla P, también cumplen P.

El resultado principal de esta sección es el siguiente teorema:

Teorema (de estabilidad)

Sea \(M\) una variedad compacta y \(N\) otra variedad. Sea \(Z\subseteq N\) una subvariedad cerrada.

Las siguientes propiedades de funciones diferenciables de \(M\) a \(N\) son estables:

• ser difeomorfismo
• ser difeomorfismo local
• ser sumersión
• ser inmersión
• ser transversal a \(Z\)

Demostración:

Demostremos ahora el caso de transversalidad a la subvariedad \(Z\).

Para esto, sea \(h : M \times [0,1] \rightarrow N \) una homotopía diferenciable, y llamémosle \(f\) a la función \(h_0\).

Asumamos que \(f\) es una función transversal a \(Z\). Queremos demostrar que existe un \(\epsilon>0\) tal que para todo \(t< \epsilon\) se cumple que \(h_t\) es transversal a \(Z\).

Definamos el siguiente conjunto:

\[X := \{(p, t) \in M \times [0,1] ~ | ~ h(p,t) \not\in Z \text{ o bien } \operatorname{im}(T_ph_t) + T_{h(p,t)}Z = T_{h(p,t)}N\}\]

Notemos que \(h_t\) es transversal a \(Z\) si y solo si \(M\times \{t\} \subseteq X\).

Dado que \(f\) es transversal a \(Z\), concluimos que \(M\times \{0\}\subseteq X\). Demostraremos ahora que \(X\) contiene una vecindad abierta de dicho conjunto. Para esto, procedamos por reducción al absurdo.

Así, sean \((p_i, t_i) \not\in X \) una sucesión de puntos que convergen a \((p, 0)\).

Dado que ningún punto de dicha sucesión pertenece al conjunto \(X\), entonces se cumple que \(h(p_i, t_i) \in Z\) para todo \(i\), y dado que la variedad \(Z\) es cerrada y \(h\) contínua, podemos concluir que \(h(p, 0) = h(\lim p_i, \lim t_i) = \lim h(p_i, t_i) \in Z\). Dado que \((p, 0)\in X\), podemos concluir que \[\operatorname{im}(T_pf) + T_{f(p)}Z = T_{f(p)}N.\]

Consideremos ahora un subespacio \(W \leq T_pM\) tal que su imagen bajo \(T_pf\) es complementaria a \(T_{f(p)}\).

Como \(Z\) es una subvariedad de \(N\), y por la definición de \(W\), podemos encontrar una carta coordenada \(\phi: \mathcal U \rightarrow \mathbb R^n\) centrada en \(f(p)\) que satisface: \[\phi(\mathcal U \cap Z) = \{0\} \times \mathbb R^k \] \[T_{f(p)}\phi(T_pf(W)) = \mathbb R^{n-k} \times \{0\}\]

Es decir, localmente \(Z\) corresponde al hiperplano coordenado \(\{0\}\times\mathbb R^k\) y la diferencial de \(\phi\) lleva a \(T_f(W)\) a un subespacio complementario a dicho hiperplano.

Tomemos ahora una carta coordenada \(\psi\) de \(M\) centrada en \(p\) y tal que \(T_p\psi(W) = R^{n-k}\times \{0\}\).

Si expresamos la diferencial de \(f\) en \(p\) de forma matricial en dichas coordenadas, obtenemos una matriz de la forma:

\[ [T_pf] = \left[\begin{array}{@{}c|c@{}} A & B \\ \hline 0 & C \end{array}\right]\]

En donde la matriz \(A\) es una matriz cuadrada de tamaño \(n-k\) y es no singular pues la imagen de \(W\) bajo \(T_pf\) es un subespacio de dimensión \(n-k\).

Podemos utilizar las mismas coordenadas para expresar la diferencial de la función \(h_t\) en puntos cercanos a \(p\), en particular, podemos asegurar la existencia de un abierto \(\mathcal V \subseteq X\) que sea vecindad de \((p, 0)\) y dónde tiene sentido usar las coordenadas \(\psi\) y \(\phi\) para expresar la matriz de la transformación \(T_q h_t\) con \((q,t)\in \mathcal V\).

Sea \(A: \mathcal V \rightarrow \operatorname{Mat}_{n-k \times n-k}(\mathbb R)\) la función que a cada punto \((q,t)\) le asigna la matriz \(A(q,t)\) que es la submatriz de los primeros \(n-k\) renglones y columnas de la matriz de \(T_qh_t\) en las coordenadas mencionadas. Si consideramos la función \(\operatorname{det}(A(q,t))\), que es una función continua al ser composición de funciones continuas, y dado que \(A(p, 0)\) es una matriz no singular, podemos concluir que en una vecindad de \((p, 0)\) la matriz \(A(q,t)\) es no singular.

En particular, dado que la sucesión \((p_i, t_i)\) converge a \((p, 0)\), podemos concluir que existe \(i_0\) tal que \(A(p_{i_0}, t_{i_0}) \) es una matriz no singular. Esto último implica que la imagen de la transformación \(T_qh_t\) contiene un subespacio complementario al espacio tangente a \(Z\) en \(f(q)\), lo que contradice que dicho punto no pertenezca a \(X\).

Esto conlcuye la demostración de que \(X\) contiene una vecindad abierta de \(M\times \{0\}\).

Para terminar la demostración notemos que, por la compacidad de la variedad \(M\), podemos encontrar una cantidad finita de abiertos \(\mathcal U_i\) y números \(\epsilon_i>0\) tales que los abiertos cubren a \(M\) y además \(\mathcal U_i \times [0, \epsilon_i)\) está contenido en \(X\). En particular, \(X\) contiene al conjunto \(M\times [0, \min\{\epsilon_i\})\); esto implica que \(h_t\) es transversal a \(Z\) para todo \(t < \min\{\epsilon_i\}\) como se quería demostrar.