Demostración de los teoremas de genericidad

En esta subsección terminaremos de demostrar las dos versiones del teorema de genericidad.

Demostración del teorema de genericidad para familias: Sean \(M\), \(N\) y \(S\) tres variedades. Sea \(Z\subseteq N\) una subvariedad. Sea \(F: M\times S \rightarrow N\) una familia de funciones parametrizada por \(S\). Queremos demostrar que el conjunto de puntos \(s\in S\) tales que \(F_s\) no es transversal a \(Z\) es un conjunto de medida cero.

Sea \(W = F^{-1}(Z)\), misma que es una subvariedad de \(M\times S\) pues \(F\) es transversal a \(Z\) y sea \(\pi|_W\) la restricción de la proyección \(\pi:M\times S\rightarrow S\) a la subvariedad \(W\).

Por el lema, podemos afirmar que el conjunto de puntos \(s\in S\) tales que \(F_s\) no es transversal a \(Z\) coincide con el conjunto de valores críticos de la función \(\pi|_W\).

Por otro lado, por el teorema de Sard, sabemos que el conjunto de valores críticos de cualquier transformación diferenciable entre variedades es de medida cero. Con esto podemos concluir que el conjunto de puntos \(s\in S\) tales que \(F_s\) no es transversal a \(Z\) es un conjunto de medida cero. ■

Como mencionamos con anterioridad, la demostración es una consecuencia sencilla del lema ya demostrado y el teorema de Sard.

Una vez demostrado el teorema para familias, solo nos restaría demostrar el teorema en su versión original. Para esto, la idea principal es encontrar una variedad de parámetros \(S\) adecuada, y una familia de funciones \(F\) que sea transversal a la variedad \(Z\).

Como veremos en el siguiente teorema, basta tomar a \(S\) como una bola abierta en un espacio euclideano de cierta dimenisión:

Teorema

Sea \(f: M\rightarrow N\) una transformación diferenciable con \(N\) una subvariedad de \(\mathbb R^n\). Entonce existe una familia de transformaciones \(F\) parametrizada Por \[S = \{v \in \mathbb R^n~|~ \lVert v \rVert <1\}\] tal que: \[F:M\times S \rightarrow N,\] \(F\) es una sumersión, y además \(F_0 = f\).

Demostración Sea \(\epsilon: N\rightarrow \mathbb R_{>0}\) una función positiva y diferenciable de tal forma que el conjunto \(N^\epsilon\) es una épsilon vecindad de \(N\). Sea \(p: N^\epsilon \rightarrow N\) la proyección.

Sea \(S\) la bola abierta de radio uno centrada en el origen de \(\mathbb R^n\).

Definimos la función \(g: M \times S \rightarrow \mathbb R^n\) como \(g(p, v) = f(p) + \epsilon(f(p))v\). Notemos que \(g(p,v)\) está a una distancia menor a \(\epsilon(f(p))\) de \(f(p)\), por lo que pertenece a \(N^\epsilon\).

Demostraremos que \(g\) es una sumersión. Para eso, sea \(q = (p, v)\) y sea \(w\in T_q\mathbb R^n\) un vector tangente arbitrario.

Sabemos que el tangente a \(\mathbb R^n\) se puede identificar con \(\mathbb R^n\) mismo, por lo que podemos asumir que \(w\in \mathbb R^n\) es un vector ordinario.

Definimos una curva mediante \(\gamma(t) = (p, v + \frac{t}{\epsilon(f(p))}w)\). Para \(t\) suficientemente pequeño \(\gamma(t)\) pertenece a \(M\times S\) y además \(\gamma(0)=(p,v)\), por lo que define un vector tangente en \(T_{(p,v)}M\times S\).

Calculemos \(T_{(p,v)}g(\dot\gamma(0))\): \[ \begin{align*} T_{(p,v)}g(\dot\gamma(0)) = & \frac{d}{dt}g\circ\gamma(t) \\ = & \frac{d}{dt} g(p, v + \frac{t}{\epsilon(f(p))}w)\\ = & \frac{d}{dt}\left[ f(p) + \epsilon(f(p))\left(v+\frac{t}{\epsilon(f(p))}w\right)\right]\\ = & \frac{d}{dt}\left[ f(p) + \epsilon(f(p))v+ tw\right]\\ = & \frac{d}{dt}\left[ g(p,v)+ tw\right]\\ = & w\ \end{align*} \] es decir, \(w\) está en la imagen de \(T_{(p,v)}g\), por lo que \(g\) es una sumersión.

Ahora bien, como \(p: N^\epsilon \rightarrow N\) es también una sumersión, la composición \(p\circ g\) es una sumersión. Es claro que si definimos \(F = p\circ g\), dicha función cumple las propiedades que se requerían.■

Corolario: Sea \(f: M\rightarrow N\) una transformación diferenciable con \(N\) una subvariedad de \(\mathbb R^n\). Entonce existe una familia de transformaciones \(F\) parametrizada Por \[S = \{v \in \mathbb R^n~|~ \lVert v \rVert <1\}\] tal que: \[F:M\times S \rightarrow N,\] \(F\) es transversal a cualquier subvariedad \(Z\subseteq N\).

Demostración Se sigue del teorema pues toda sumersión es transversal a cualquier subvariedad del codominio.■

Corolario: Sea \(f: M\rightarrow N\) una transformación diferenciable con \(N\) una subvariedad de \(\mathbb R^n\) y \(Z\subseteq N\) una subvariedad de \(N\). Entonce existe una homotopía \(h: M\times [0,1]\rightarrow N\) tal que \(h_0 = f\) y \(h_1\) es transversal a \(Z\).

Demostración Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que \(N\) es subvariedad de \(R^n\) con \(n>0\). Sea \(F: M\times S\rightarrow N\) como en el teorema. Entonces \(F\) es transversal a \(Z\) y por el teorema de genericidad para familias, podemos afirmar que el conjunto de puntos \(s\in S\) tales que \(F_s\) no es transveral a \(Z\) es un conjunto de medida cero. Como \(S\) es una bola abierta en \(\mathbb R^n\), no tiene medida cero, por lo que existe por lo menos un punto \(s_0 \in S\) tal que \(F_{s_0}\) es transversal a \(Z\). Definimos la homotopía como \(h(p, t) = F(p, ts_0)\). De esta forma \(h_0 = f \) y \(h_1 = F_{s_0}\) que es transversal a \(Z\).■

Finalmente, la demostración del teorema de genericidad será una aplicación sencilla del teorema de Fubini para conjuntos de medida cero.

Demostración del teorema de genericidad

Sea \(f: M\rightarrow N\) una transformación diferenciable y sea \(Z\subseteq N\) una subvariedad. Asumamos sin pérdida de generalidad que \(N\subseteq \mathbb R^{n+1}\) con \(n\in \mathbb N\). Queremos demostrar que existe una homotopía \(h: M\times [0,1]\rightarrow N\) tal que \(h_0 = f\) y para todo \(\epsilon> 0\) existe \(t<\epsilon\) tal que \(h_t\) es transversal a \(Z\).

Por el primer corolario, sabemos que existe una familia \(F: M\times S \rightarrow N\) tal que \(S\) es la bola abierta en \(\mathbb R^{n+1}\), \(F_0 = f\) y el conjunto de puntos \(s\in S\) tales que \(F_s\) no es transversal a \(Z\) es un conjunto de medida cero.

Sea \(X \subseteq S\) dicho conjunto de puntos y sea \(B = \{v\in \mathbb R^n ~|~ \lVert v\rVert < 1\}\) la bola abierta de radio 1 en \(\mathbb R^n\).

Consideremos la función \(g: S \rightarrow [0,1]\times B\) dada por: \[g(x) = (\lVert x\rVert, \pi_{\mathbb R^n}(x/\lVert x \rVert))\] donde \(\pi_{\mathbb R^n}\) es la proyección de \(\mathbb R^{n+1}\) en las primeras \(n\) coordenadas. Dicho de otra forma, la primera componente de \(g(x)\) es la norma de \(x\) y la segunda componente es la composición de normalizar el vector y proyectar en el hiperplano \(\mathbb R^n\times \{0\}\).

Es claro que \(g\) es diferenciable en \(S\setminus \{0\}\) y además \(g\) es un difeomorfismo entre \(S\cap \{(x_1, \ldots, x_n, x_{n+1})~|~ x_{n+1}>1\}\) y \((0,1)\times B\). Sea \(\tilde X = X \cap \{(x_1, \ldots, x_n, x_{n+1})~|~ x_{n+1}>1\}\).

Dado que la imagen de conjuntos de medida cero bajo transformaciones diferenciables es de medida cero, sabemos que \(g(\tilde X)\) es de medida cero.

Dado cualquier vector \(v\) de norma 1 en \(\mathbb R^{n+1}\) y un real \(\lambda \in (0,1)\), se cumple que \(g(\lambda v) = (\lambda, \pi_{\mathbb R^n}(v))\).

Demostraremos que existe por lo menos un vector \(v\) de norma 1 tal que \(g(\tilde X) \cap (0,1)\times\{\pi_{\mathbb R^n}(v)\}\) no contiene ningún intervalo de la forma \((0, \delta)\times \{v\}\). Esto implica que la intersección de \(\tilde X\) con el rayo generado por \(v\) no contiene ningun segmento \(\{\lambda v | \lambda \in (0, \delta)\}\).

Como \(g(\tilde X)\) tiene medida cero, podemos afirmar que \[\int_{(0,1)\times B} \chi_{g(\tilde X)} = 0\] donde \(\chi_{g(\tilde X)}\) es la función característica del conjunto \(g(\tilde X)\).

Por el teorema de Fubini para funciones Lebesgue integrables, tenemos:

\[\int_{(0,1)\times B} \chi_{g(\tilde X)} = \int_{B}\int_{(0,1)}\chi_{g(\tilde X)}(t, p) \,dt\, dp\] donde \(\int_{(0,1)}\chi_{g(\tilde X)}(t, v) dt\) está bien definida salvo para un conjunto de medida cero. Dado que la integral sobre todo el conjunto producto es cero, concluimos que la función \(p\mapsto \int_{(0,1)}\chi_{g(\tilde X)}(t, p) dt\) es cero salvo un conjunto de medida cero de \(B\).

En particular, podemos afirmar que existe un \(p\in B\) tal que \(\left((0,1)\times \{p\}\right)\cap g(\tilde X)\) es de medida cero con la medida de Lebesgue de \((0,1)\). Podemos tomar una sucesión decreciente \(\{t_i\}_{i\in \mathbb N} \in (0,1)\) tal que \(\lim t_i =0\), y además, \((t_i, p) \not \in g(\tilde X)\).

Sea \(v\in \{(x_1, \ldots, x_n, x_{n+1})~|~ x_{n+1}>1\}\) de norma 1 y tal que \(\pi_{\mathbb R^n}(v)=p\). Entonces se cumple que \(t_i v \not \in \tilde X\). Si definimos la homotopía \(h(x, t) = F(x, t/2 v)\) se cumple que \(h_0 = f\) y además \(h_{2t_i}\) es transversal a \(Z\) para todo \(t_i < 1/2\) por lo que \(h\) es la homotopía buscada. ■