Topología general
En este apéndice resumimos algunas de las definiciones y resultados más importantes de la topología general.
Definiciones básicas
Grosso modo, la topología estudia aquellas propiedades que se preservan bajo transformaciones continuas. Es claro que para que esta afirmación tenga sentido, es necesario definir una clase de objetos matemáticos en los cuales tenga sentido hablar de continuidad:
Espacios topologicos
Definición: Un espacio topológico es una pareja \((X, \tau)\) donde \(X\) es un conjunto arbitrario y \(\tau\) es una familia de subconjuntos de \(X\) que satisface las siguientes propiedades:
- el conjunto vacío y el conjunto total pertenecen a \(\tau\): \[\emptyset \in \tau\] \[X\in \tau\]
- \(\tau\) es cerrada bajo uniones arbitrarias: si \(\{U_\alpha\} \) es una familia de elementos de \(\tau\) entonces \[\bigcup_\alpha U_\alpha \in \tau\]
- \(\tau\) es cerrada bajo intersecciones finitas: si \( \{U_i\} _{i=0}^n \) es una familia finita de elementos de \(\tau\) entonces \[\bigcup_{i=0}^n U_i \in \tau\]
Se dice que \(\tau\) es una topología sobre el conjunto \(X\) y a sus elementos se les llama abiertos de \(X\).
Funciones continuas
Definición: Dados dos espacios topologicos \( (X_1, \tau_1) \) y \( (X_2, \tau_2) \) una función continua es una función \(f:X_1 \rightarrow X_2\) que cumple que para cualquier abierto \(U\in \tau_2\) de \(X_2\) la preimagen es un abierto de \(X_1\): \(f^{-1}(U) \in \tau_1\).
Definición Un homeomorfismo es una función continua invertible, cuya inversa es también continua.