El espacio tangente
En el capítulo anterior demostramos algunos teoremas que facilitan demostrar que algunos conjuntos dados son k-variedades.
Uno de los resultados más útiles es el que afirma que la preimagen de un valor regular es una variedad. Profundicemos un poco en un ejemplo de este hecho:
Ejemplo Consideremos la función norma cuadrada: \[ \begin{align} f: \mathbb R^3 & \rightarrow \mathbb R \\ (x, y, z) & \mapsto x^2 + y^2 + z^2 \end{align} \] esta función tiene derivada suprayectiva en todo punto salvo el origen.
Consideremos el conjunto de nivel \(f=1\): \[\mathbb S^2 = \{p\in \mathbb R^3 ~|~ f(p)=1\}\] es decir, la esfera unitaria. Así, el resultado antes mencionado, garantiza que \(\mathbb S^2\) es una 2-subvariedad de \(\mathbb R^3\).
Ahora, la función altura \(z:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R\) que a cada punto le asigna su tercera coordenada, se restringe a una función diferenciable sobre \(\mathbb S^2\).
Esta función tiene derivada suprayectiva en todo punto, por lo que según el teorema, los conjuntos de nivel deberían ser 1-variedades de la esfera, sin embargo, tenemos tres casos:
- si \(t = \pm 1\) entonces \(z|_{\mathbb S^2}^{-1}(t)\) consta de un punto
- si \(|t| > 1\) entonces \(z|_{\mathbb S^2}^{-1}(t)\) es vacío
- si \(|t| < 1\) entonces \(z|_{\mathbb S^2}^{-1}(t)\) es efectivamente una 1-variedad difeomorfa a un círculo
El problema claramente surge pues el teorema lo demostramos para el caso en que el dominio de la función sea un abierto de \(\mathbb R^n\) y no para conjuntos arbitrarios, ni para subvariedades.
Analicemos qué pasa por ejemplo en el caso \(t=1\). En este caso, la preimagen consta de un único punto, el polo norte de la esfera \(p_N = (0,0,1)\). Dado que la función \(z\) es lineal, la podemos identificar con su propia diferencial, por lo que podemos considerar que la diferencial \(z\) en \(p_N\) está dada por:
\[ \begin{align} D_{p_N}z: \mathbb R^3 & \rightarrow \mathbb R \\ (x, y, z) & \mapsto z \end{align} \] dado que el codominio de esta función es de dimensión 1, la única posibilidad para que no sea suprayectiva es que sea identicamente cero. Esto nos lleva a que de cierta forma, cuando consideramos la diferencial de la función restringida \(D_{p_N}z|_{\mathbb S^2}\) los únicos vectores que deberíamos considerar para verificar si la diferencial es suprayectiva, son los que pertenecen al núcleo de \(D_{p_N}z\).
El núcleo de dicha función es un plano horizontal que (salvo por que está centrado en el origen y no en \(p_N\)) podemos identificar con el plano tangente a \(\mathbb S^2\) en \(p_N\).
En resumidas cuentas: al restringir la función \(z\) a la subvariedad \(\mathbb S^2\) debemos restringir su diferencial en \(p_N\) al plano tangente a la subvariedad en dicho punto.
En el caso de la esfera es relativamente fácil intuir cuál debe ser el plano tangente en cada punto, sin embargo, necesitamos una forma sistemática y general para hablar de planos tangentes, o más en general de espacios tangentes.