Introducción

Variedades topológicas y variedades diferenciables

Definición: Variedad topológica

Espacios y variedades topológicas

Variedades diferenciables

Otras definiciones de variedad diferenciable

Teorema Sea \(X\subseteq \mathbb R^n\) un conjunto arbitrario. Las siguientes condiciones son equivalentes:

  1. \(X\) es una k-variedad
  2. \(X\) es una k-subvariedad de \(\mathbb R^n\)
  3. \(X\) es localmente el conjunto de nivel de una sumersión: para todo punto \(p\in X\) existe una vecindad abierta de \(p\) y una función \(f:\mathcal U \rightarrow \mathbb R^{n-k}\) tales que:
    • \(f^{-1}(c) = X \cap \mathcal U\)
    • \(D_qf\) es suprayectiva para todo \(q\in \mathcal U\)

Demostración Demostraremos primero que (2) implica (1) y (3).

Sea \(p \in X\) un punto arbitrario, y sea \(\phi: \mathcal U \rightarrow \mathbb R^n\) una carta de subvariedad alrededor de \(p\), es decir, \(\phi\) es un difeomorfismo y \(\phi(\mathcal U\cap X) = \phi(\mathcal U)\cap\mathbb R^k\times {0}\).

Consideremos la función \(\psi = \pi_{k}\circ\phi\) donde \(\pi_k\) es la proyección en las primeras k coordenadas. Entonces es claro que \(\psi\) es un difeomorfismo entre \(\mathcal U\) y un abierto de \(\mathbb R^k\), es decir, es una carta para \(X\).

Por otro lado, podemos definir la función \(f = \pi_{n-k}\circ \phi\) donde \(\pi_{n-k}\) es la proyección en las últimas \(n-k\) coordenadas. Dado que \(\phi\) es un difeomorfismo, su derivada en cada punto es un isomorfismo lineal; por otro lado, \(\pi_{n-k}\) es lineal, por lo que es igual a su propia derivada y en particular su derivada es suprayectiva. Así, la función \(f\) tiene derivada suprayectiva en todo punto de su dominio. Por otro lado, es claro que \(f^{-1}(0) = X \cap \mathcal U\).

Como el elemento \(p\) era arbitrario, con esto demostramos que \(X\) satisface tanto (1) como (3).

La demostración de que (3) implica (2) es simplemente una reformulación del teorema que clasifica los gérmenes de funciones con derivada suprayectiva.

Así, resta únicamente demostrar que (1) implica (2) para concluir con la demostración del teorema.

Para esto, supongamos que \(X\) es una k-variedad y sea \(p\in X\) un punto arbitrario. Dado que \(X\) es una \(k-variedad\), existe un abierto \(\mathcal U\) de \(\mathbb R^n\) y un difeomorfismo \(\psi: X\cap\mathcal U \rightarrow \mathbb R^k\) tal que \(p\in \mathcal U\) y \(\psi(p)=0\).

Sea \(\Psi\) una extensión diferenciable de \(\psi\). Podemos suponer sin pérdida de generalidad que el dominio de \(\Psi\) es todo \(\mathcal U\). De esta forma tenemos las igualdades: \[\Psi \circ\psi^{-1} = Id\] \[D_p\Psi \circ D_0\psi^{-1} = D_0Id\] con lo que podemos concluir que \(D_p\Psi\) es suprayectiva y \(D_0\psi^{-1}\) es inyectiva.

Por el teorema de clasificación de los gérmenes de funciones con derivada inyectiva, podemos afirmar que existen abiertos \(\mathcal V_1 \subseteq \mathbb R^k\) y \(\mathcal V_2\subseteq \mathbb R^n\) y un difeomorfismo \(\phi: \mathcal V_2 \rightarrow \mathbb R^n\) tales que \(\psi^{-1}(\mathcal V_1)\subseteq \mathcal V_2\) y además \(\phi\circ\psi^{-1}(x_1, \ldots, x_k) = (x_1, \ldots, x_k, 0, \ldots, 0)\). El difeomorfismo \(\phi\) es el difeomorfismo buscado, sin embargo, aún hay que justificar por qué se cumple que la imagen de \(X\cap \mathcal V_2\) bajo \(\phi\) es el conjunto \(\mathbb R^k \times {0}\cap \phi(\mathcal V_2)\).

Ahora, dado que \(\psi\) es un difeomorfismo, en particular es un homeomorfismo, por lo que \(\psi^{-1}\) es una transformación abierta.

Con esto podemos garantizar que \(\psi^{-1}(\mathcal V_1)\) es un abierto relativo de \(X\subseteq \mathbb R^n\), es decir, existe un abierto\(\mathcal V_3\) de \(\mathbb R^n\) tal que \(\mathcal V_3 \cap X = \psi^{-1}(\mathcal V_1)\)

De esta forma, si restringimos el difeomorfismo \(\phi\) al abierto \(\mathcal V_3\) vemos que se tiene la propiedad buscada: si \(q\in X\cap V_3\), entonces \(q\in \psi^{-1}(V_1)\), por lo que \(q = \psi^{-1}(x_1, \ldots, x_k)\) y \(\phi(q) = \phi(\psi^{-1}(x_1, \ldots, x_k)) = (x_1, \ldots, x_k, 0, \ldots, 0)\), es decir \[\phi(X\cap \mathcal V_3)\subseteq \mathbb R^k \times {0}\] como se deseaba. Esto demuestra que \(X\) es una k-subvariedad de \(\mathbb R^n\).

Grasmanianos

El espacio tangente

En el capítulo anterior demostramos algunos teoremas que facilitan demostrar que algunos conjuntos dados son k-variedades.

Uno de los resultados más útiles es el que afirma que la preimagen de un valor regular es una variedad. Profundicemos un poco en un ejemplo de este hecho:

Ejemplo Consideremos la función norma cuadrada: \[ \begin{align} f: \mathbb R^3 & \rightarrow \mathbb R \\ (x, y, z) & \mapsto x^2 + y^2 + z^2 \end{align} \] esta función tiene derivada suprayectiva en todo punto salvo el origen.

Consideremos el conjunto de nivel \(f=1\): \[\mathbb S^2 = \{p\in \mathbb R^3 ~|~ f(p)=1\}\] es decir, la esfera unitaria. Así, el resultado antes mencionado, garantiza que \(\mathbb S^2\) es una 2-subvariedad de \(\mathbb R^3\).

Ahora, la función altura \(z:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R\) que a cada punto le asigna su tercera coordenada, se restringe a una función diferenciable sobre \(\mathbb S^2\).

Esta función tiene derivada suprayectiva en todo punto, por lo que según el teorema, los conjuntos de nivel deberían ser 1-variedades de la esfera, sin embargo, tenemos tres casos:

  • si \(t = \pm 1\) entonces \(z|_{\mathbb S^2}^{-1}(t)\) consta de un punto
  • si \(|t| > 1\) entonces \(z|_{\mathbb S^2}^{-1}(t)\) es vacío
  • si \(|t| < 1\) entonces \(z|_{\mathbb S^2}^{-1}(t)\) es efectivamente una 1-variedad difeomorfa a un círculo

El problema claramente surge pues el teorema lo demostramos para el caso en que el dominio de la función sea un abierto de \(\mathbb R^n\) y no para conjuntos arbitrarios, ni para subvariedades.

Analicemos qué pasa por ejemplo en el caso \(t=1\). En este caso, la preimagen consta de un único punto, el polo norte de la esfera \(p_N = (0,0,1)\). Dado que la función \(z\) es lineal, la podemos identificar con su propia diferencial, por lo que podemos considerar que la diferencial \(z\) en \(p_N\) está dada por:

\[ \begin{align} D_{p_N}z: \mathbb R^3 & \rightarrow \mathbb R \\ (x, y, z) & \mapsto z \end{align} \] dado que el codominio de esta función es de dimensión 1, la única posibilidad para que no sea suprayectiva es que sea identicamente cero. Esto nos lleva a que de cierta forma, cuando consideramos la diferencial de la función restringida \(D_{p_N}z|_{\mathbb S^2}\) los únicos vectores que deberíamos considerar para verificar si la diferencial es suprayectiva, son los que pertenecen al núcleo de \(D_{p_N}z\).

El núcleo de dicha función es un plano horizontal que (salvo por que está centrado en el origen y no en \(p_N\)) podemos identificar con el plano tangente a \(\mathbb S^2\) en \(p_N\).

En resumidas cuentas: al restringir la función \(z\) a la subvariedad \(\mathbb S^2\) debemos restringir su diferencial en \(p_N\) al plano tangente a la subvariedad en dicho punto.

En el caso de la esfera es relativamente fácil intuir cuál debe ser el plano tangente en cada punto, sin embargo, necesitamos una forma sistemática y general para hablar de planos tangentes, o más en general de espacios tangentes.

Definición

Motivados por el ejemplo anterior, definimos el espacio tangente para una variedad arbitraria en un punto dado:

Definición: Dada una k-variedad \(X\) en \(\mathbb R^n\) y dado un punto \(p \in X\) definimos el espacio tangente \(T_pX\) como sigue:

Dado que \(X\) es una variedad de \(\mathbb R^n\) existe un abierto \(\mathcal U\) de \(\mathbb R^n\) que es vecindad de \(p\) y una función \(f: \mathcal U \rightarrow \mathbb R^{n-k}\) que es una sumersión y tal que \(X \cap \mathcal U = f^{-1}(0)\). Es decir, localmente \(X\) es un conjunto de nivel de la función \(f\).

Entonces definimos: \[ T_pX : = \operatorname{Nuc}(D_pf) \]

Es menester hacer algunas observaciones: dado que la función \(f\) es una sumersión, su diferencial es suprayectiva. Dado que el dominio tiene dimensión \(n\) y el codominio tiene dimensión \(n-k\) el núcleo (es decir, el espacio tangente) tiene dimensión \(k\), que es algo razonable pues la dimensión de \(X\) es \(k\).

Transformaciones diferenciables

Flujos y campos vectoriales

Estabilidad

El objetivo de esta sección es definir la noción de estabilidad para propiedades de funciones diferenciables y posteriormente demostrar que muchas de las propiedades con las que hemos trabajado son estables.

Definición Sean \(M\) y \(N\) dos variedades diferenciables. Diremos que una propiedad P de funciones diferenciables de \(M\) a \(N\) es estable cuando dada cualquier homotopía diferenciable \(h: M \times [0,1]\rightarrow N\) si la función \(h_0\) cumple la propiedad P, entonces existe un \(\epsilon > 0\) tal que todas las funciones \(h_t\) con \(t< \epsilon\) también cumplen la propiedad P.

Si denotamos al conjunto de funciones diferenciables de \(M\) a \(N\) por \(C^\infty(M, N)\) entonces cada propiedad P de funciones define un subconjunto: \[C^\infty(M, N)_P:= \{ f \in C^\infty(M, N) ~|~ P(f)\}\]

Si dotaramos al conjunto \(C^\infty(M,N)\) de una topología sensata, donde en particular las homotopías dieran lugar a trayectorias continuas, otra forma de definir la estabilidad de una propiedad P sería decir que el conjunto \(C^\infty(M, N))_P\) es un conjunto abierto.

De forma coloquial, podríamos decir que una propiedad P es estable cuando perturbaciones pequeñas de una función que cumpla P, también cumplen P.

El resultado principal de esta sección es el siguiente teorema:

Teorema (de estabilidad)

Sea \(M\) una variedad compacta y \(N\) otra variedad. Sea \(Z\subseteq N\) una subvariedad cerrada.

Las siguientes propiedades de funciones diferenciables de \(M\) a \(N\) son estables:

  • ser difeomorfismo
  • ser difeomorfismo local
  • ser sumersión
  • ser inmersión
  • ser transversal a \(Z\)

Demostración:

Demostremos ahora el caso de transversalidad a la subvariedad \(Z\).

Para esto, sea \(h : M \times [0,1] \rightarrow N \) una homotopía diferenciable, y llamémosle \(f\) a la función \(h_0\).

Asumamos que \(f\) es una función transversal a \(Z\). Queremos demostrar que existe un \(\epsilon>0\) tal que para todo \(t< \epsilon\) se cumple que \(h_t\) es transversal a \(Z\).

Definamos el siguiente conjunto:

\[X := \{(p, t) \in M \times [0,1] ~ | ~ h(p,t) \not\in Z \text{ o bien } \operatorname{im}(T_ph_t) + T_{h(p,t)}Z = T_{h(p,t)}N\}\]

Notemos que \(h_t\) es transversal a \(Z\) si y solo si \(M\times \{t\} \subseteq X\).

Dado que \(f\) es transversal a \(Z\), concluimos que \(M\times \{0\}\subseteq X\). Demostraremos ahora que \(X\) contiene una vecindad abierta de dicho conjunto. Para esto, procedamos por reducción al absurdo.

Así, sean \((p_i, t_i) \not\in X \) una sucesión de puntos que convergen a \((p, 0)\).

Dado que ningún punto de dicha sucesión pertenece al conjunto \(X\), entonces se cumple que \(h(p_i, t_i) \in Z\) para todo \(i\), y dado que la variedad \(Z\) es cerrada y \(h\) contínua, podemos concluir que \(h(p, 0) = h(\lim p_i, \lim t_i) = \lim h(p_i, t_i) \in Z\). Dado que \((p, 0)\in X\), podemos concluir que \[\operatorname{im}(T_pf) + T_{f(p)}Z = T_{f(p)}N.\]

Consideremos ahora un subespacio \(W \leq T_pM\) tal que su imagen bajo \(T_pf\) es complementaria a \(T_{f(p)}\).

Como \(Z\) es una subvariedad de \(N\), y por la definición de \(W\), podemos encontrar una carta coordenada \(\phi: \mathcal U \rightarrow \mathbb R^n\) centrada en \(f(p)\) que satisface: \[\phi(\mathcal U \cap Z) = \{0\} \times \mathbb R^k \] \[T_{f(p)}\phi(T_pf(W)) = \mathbb R^{n-k} \times \{0\}\]

Es decir, localmente \(Z\) corresponde al hiperplano coordenado \(\{0\}\times\mathbb R^k\) y la diferencial de \(\phi\) lleva a \(T_f(W)\) a un subespacio complementario a dicho hiperplano.

Tomemos ahora una carta coordenada \(\psi\) de \(M\) centrada en \(p\) y tal que \(T_p\psi(W) = R^{n-k}\times \{0\}\).

Si expresamos la diferencial de \(f\) en \(p\) de forma matricial en dichas coordenadas, obtenemos una matriz de la forma:

\[ [T_pf] = \left[\begin{array}{@{}c|c@{}} A & B \\ \hline 0 & C \end{array}\right]\]

En donde la matriz \(A\) es una matriz cuadrada de tamaño \(n-k\) y es no singular pues la imagen de \(W\) bajo \(T_pf\) es un subespacio de dimensión \(n-k\).

Podemos utilizar las mismas coordenadas para expresar la diferencial de la función \(h_t\) en puntos cercanos a \(p\), en particular, podemos asegurar la existencia de un abierto \(\mathcal V \subseteq X\) que sea vecindad de \((p, 0)\) y dónde tiene sentido usar las coordenadas \(\psi\) y \(\phi\) para expresar la matriz de la transformación \(T_q h_t\) con \((q,t)\in \mathcal V\).

Sea \(A: \mathcal V \rightarrow \operatorname{Mat}_{n-k \times n-k}(\mathbb R)\) la función que a cada punto \((q,t)\) le asigna la matriz \(A(q,t)\) que es la submatriz de los primeros \(n-k\) renglones y columnas de la matriz de \(T_qh_t\) en las coordenadas mencionadas. Si consideramos la función \(\operatorname{det}(A(q,t))\), que es una función continua al ser composición de funciones continuas, y dado que \(A(p, 0)\) es una matriz no singular, podemos concluir que en una vecindad de \((p, 0)\) la matriz \(A(q,t)\) es no singular.

En particular, dado que la sucesión \((p_i, t_i)\) converge a \((p, 0)\), podemos concluir que existe \(i_0\) tal que \(A(p_{i_0}, t_{i_0}) \) es una matriz no singular. Esto último implica que la imagen de la transformación \(T_qh_t\) contiene un subespacio complementario al espacio tangente a \(Z\) en \(f(q)\), lo que contradice que dicho punto no pertenezca a \(X\).

Esto conlcuye la demostración de que \(X\) contiene una vecindad abierta de \(M\times \{0\}\).

Para terminar la demostración notemos que, por la compacidad de la variedad \(M\), podemos encontrar una cantidad finita de abiertos \(\mathcal U_i\) y números \(\epsilon_i>0\) tales que los abiertos cubren a \(M\) y además \(\mathcal U_i \times [0, \epsilon_i)\) está contenido en \(X\). En particular, \(X\) contiene al conjunto \(M\times [0, \min\{\epsilon_i\})\); esto implica que \(h_t\) es transversal a \(Z\) para todo \(t < \min\{\epsilon_i\}\) como se quería demostrar.

Genericidad de la transversalidad

La contraparte de la noción de estabilidad, es la genericidad. Intuitivamente, diremos que una propiedad de funciones diferenciables es genérica, cuando cualquier función diferenciable esté «arbitrariamente cerca» de una función que cumple la propiedad.

Alternativamente, también podríamos decir que una propiedad es genérica, cuando cualquier función diferenciable se puede aproximar por funciones que cumplen la propiedad.

Hay varias maneras de formalizar este concepto. La versión que nos será util es la siguiente:

Definición Sean \(M\) y \(N\) dos variedades diferenciables. Diremos que una propiedad P de funciones diferenciables de \(M\) a \(N\) es genérica cuando dada cualquier función diferenciable \(f: M \rightarrow N\) existe una homotopía diferenciable \(h: M \times [0,1]\rightarrow N\) tal que para todo \(\epsilon > 0\) existe \(t<\epsilon\) tal que \(h_t\) cumple la propiedad P.

Al igual que en el caso de la estabilidad, si dotáramos de una topología adecuada al conjunto \(C^\infty(M, N)\), podríamos decir que una propiedad P es genérica precísamente cuando \(C^\infty(M, N)_P\) es un conjunto denso.

El resultado principal de esta sección es el siguiente teorema:

Teorema (de genericidad)

Sean \(M\) y \(N\) dos variedades. Sea \(Z\subseteq N\) una subvariedad.

La propiedad «ser transversal a Z» es una propiedad genérica de las funciones diferenciables de \(M\) a \(N\).

La demostración de este teorema requerirá de varios lemas y proposiciones que son interesantes en sí mismas.

Lo primero será dar una generalización del concepto de homotopía. Podríamos decir que una homotopía es una familia uniparamétrica1 de funciones diferenciales.

Si extendemos este concepto a familias de varios parámetros, llegamos a la siguiente definición:

Definición Si \(S\) es un subconjunto de una variedad, y \(M\) y \(N\) son variedades, una familia diferenciable de funciones de \(M\) a \(N\), parametrizada por \(S\) es una función diferenciable \(F: M\times S \rightarrow N\). Para cada \(s\in S\) denotaremos por \(F_s\) a la restricción de \(F\) al conjunto \(M\times\{s\}\), mismo que identificaremos con \(M\).

Además de esta noción, precisaremos del concepto de medida cero para subconjuntos de variedades arbitrarias.

Definición Sea \(M\) una n-variedad y sea \(C\subseteq M\) un subconjunto arbitrario. Decimos que \(C\) tiene medida cero si para cualquier carta coordenada \(\phi: \mathcal U \rightarrow \mathbb R^n\) de la variedad \(M\), el conjunto \(\phi(C\cap \mathcal U)\) es un subconjunto de medida cero de \(\mathbb R^n\).

Para la definición de medida cero en el espacio euclideano, y para los resultados fundamentales sobre este concepto, referimos al lector al apéndice.

Con estas dos nociones podemos enunciar el siguiente teorema, mismo que nos permitirá deducir el teorema de genericidad:

Teorema (de genericidad para familias de funciones)

Sean \(M\), \(N\) y \(S\) tres variedades. Sea \(Z\subseteq N\) una subvariedad. Sea \(F: M \times S \rightarrow N\) una familia de funciones parametrizada por \(S\). Si la función \(F\) es transversal a \(Z\), entonces salvo por un conjunto de medida cero, para todo \(s\in S\), la función \(F_s\) es transversal a \(Z\).

A su vez, este teorema lo obtendremos como consecuencia de un lema que enunciamos a continuación, y del Teorema de Sard que tiene un interés propio y dejaremos para la subsección siguiente.

Lema:

Sean \(M\), \(N\) y \(S\) tres variedades. Sea \(Z\subseteq N\) una subvariedad. Sea \(F: M \times S \rightarrow N\) una familia de funciones parametrizada por \(S\), y sea \(\pi\) la proyección de \(M\times S\) sobre \(S\). Supongamos que \(F\) es transversal a \(Z\) y sea \(W = F^{-1}(Z)\). Si \(s\in S\) es un valor regular de \(\pi|_W\), la restricción de \(\pi\) a la subvariedad \(W\), entonces la función \(F_s\) es transversal a \(Z\).

Demostración Supongamos que \(F\) es transversal a \(Z\) y que \(s\in S\) es un valor regular de \(\pi|_W\). Demostremos que \(F_s\) es transversal a \(Z\). Para esto, sea \(p \in M\) tal que \(F_s(p) \in Z\). Esto es equivalente a que \((p,s) \in W\).

Llamémosle \(q = F(p,s)\).

Queremos demostrar que \[\operatorname{im}(T_pF_s) + T_{q}Z = T_{q}N.\]

Dado que \(F\) es transversal a \(Z\), sabemos que: \[\operatorname{im}(T_{(p, s)}F) + T_{q}Z = T_{q}N\]

Sea \(v_N \in T_{q}N\) un vector arbitrario. Por la igualdad anterior, podemos afirmar la existencia de dos vectores \(v_{M\times S} \in T_{(p,s)}M\times S\) y \(v_Z \in T_{q}Z\) tales que: \[T_{(p,s)}F(v_{M\times S}) + v_Z = v_N,\] además, sabiendo que el espacio tangente de un producto se descompone como suma directa de los espacios tangentes correspondientes, tenemos que: \[T_{(p,s)}M\times S = T_{(p,s)}M \oplus T_{(p,s)}S,\] por lo que existen dos vectores \(v_M \in T_{(p,s)}M\) y \(v_S \in T_{(p,s)}S\) tales que \[v_M + v_S = v_{M\times S}.\]

Por otro lado, podemos identificar \(T_{(p,s)}S\) con \(T_sS\) mediante la diferencial de la proyección \(\pi\). Como \(s\) es un valor regular, de \(\pi|_W\), podemos afirmar la existencia de un vector \(v_W \in T_{(p,s)}W\) tal que \(T_{(p,s)}\pi (v_W) = v_S\). Es decir, \(v_{M\times S}\) y \(v_W\) tienen la misma componente en la dirección de \(S\).

Si consideramos al vector \(v_{M\times S} - v_W\), podemos ver que este vector pertenece a \(T_{(p,s)}M\), pues por la observación anterior, su compoente en \(T_{(p,s)}S\) es cero.

Al calcular la diferencial de \(F\) en dicho vector, obtenemos: \[T_{(p,s)}F (v_{M\times S} - v_W) = T_{p}F_s (v_{M\times S} - v_W)\] sin embargo, usando la linealidad de la diferencial, y el hecho de que \[T_{(p,s)}W = T_{(p,s)}F^{-1}(T_{q}Z),\] podemos deducir que: \[T_{p}F_s (v_{M\times S} - v_W) = T_{(p,s)}F (v_{M\times S}) - T_{(p,s)}F(v_W) = T_{(p,s)}F (v_{M\times S}) - w_z \] para algún vector \(w_z \in T_qZ\).

Así, sustituyendo en la primera ecuación, tenemos: \[\begin{align*} v_N = & T_{(p,s)}F(v_{M\times S}) + v_Z \\ = & T_{(p,s)}F(v_{M\times S}) -w_Z + w_Z+ v_Z \\ = & T_{(p,s)}F(v_{M\times S} - v_W) + w_Z+ v_Z \\ = & T_pF_s(v_{M\times S} - v_W) + w_Z+ v_Z \\ \end{align*} \] en esta última igualdad expresamos a \(v_N\) como suma de \(T_pF_s(v_{M\times S} - v_W)\) que es un vector en \(\operatorname{im}(T_pF_s)\) y de \(w_z + v_Z\) que es un vector en \(T_qZ\). Como \(v_N\) era un vector arbitrario de \(T_qN\), podemos concluir: \[\operatorname{im}(T_pF_s) + T_{q}Z = T_{q}N,\] y \(F_s\) es transversal a \(Z\) como se quería demostrar.

Una vez demostrado este lema, el teorema de generícidad para familais de funciones se sigue inmediatamente del teorema de Sard.

Dejaremos los detalles de las demostracions para una subsección posterior.

1

También podríamos decir que es una familia unidimensional.

Teorema de Sard

En esta subsección enunciamos el teorema de Sard. Diferimos la demostración a un apéndice.

Teorema (de sard):

Sean \(M\) y \(N\) dos variedades diferenciales y sea \(f:M\rightarrow N\) una función diferenciable. Los valores críticos de \(f\) forman un conjunto de medida cero de la variedad \(N\).

Recordemos que un punto \(q\in N\) es un valor crítico de \(f\) si existe un punto \(p\in M\) tal que \(f(p)=q\) y además \(T_pf\) no es suprayectiva.

Como ya mencionamos, la prueba de este teorema se puede consultar en el apéndice.

Mencionamos a continuación algunos corolarios sencillos del teorema de Sard.

Corolario Si la dimensión de \(N\) es por lo menos uno, entonces los valores regulares de cualquier función \(f:M\rightarrow N\) forman un conjunto denso.

Corolario Si la dimensión de \(M\) es menor que la dimensión de \(N\), entonces ninguna función diferenciable \(f:M\rightarrow N\) puede ser suprayectiva.

Otro corolario interesante, mismo que empieza a evidenciar las conexiones con la topología algebraica es el siguiente:

Corolario Sea \(\gamma : \mathbb S^k \rightarrow \mathbb S^n\) con \(n> k\). Entonces \(\gamma\) es homotópica a una función constante.

Épsilon vecindades

Para demostrar que el teorema de genericidad para familias implica la versión original del teorema, necesitaremos una forma de definir familias de funciones que «extiendan» una función diferenciable dada.

Para esto, la herramienta fundamental será la existencia de épsilon vecindades.

Definición Sea \(N \subseteq \mathbb R^n\) una variedad, y sea \(\epsilon : N \rightarrow \mathbb R_{>0}\) una función diferenciable y positiva. La épsilon vecindad de \(N\) determinada por \(\epsilon\) es el conjutno \[ N^\epsilon : = \{p\in \mathbb R^n ~|~ d(p, q) < \epsilon(q) \text{ para algun }q\in N\} \]

Notemos que si tenemos dos funciones \(\epsilon_1\) y \(\epsilon_2\) tales que \(\epsilon_1 \leq \epsilon_2\), entonces las correspondientes épsilon vecindades cumplen: \[N^{\epsilon_1} \subseteq N^{\epsilon_2}\]

Además, si la variedad es compacta, cualquier épsilon vecindad contiene una épsilon vecindad correspondiente a una función constante.

Las épsilon vecindades cobran relevancia cuando la función que las define es suficientemente pequeña:

Teorema

Sea \(N \subseteq \mathbb R^n\) una variedad arbitraria. Existe una función positiva \(\epsilon : N \rightarrow \mathbb R_{>0}\) tal que \(N^\epsilon\) es una vecindad abierta de \(N\) y además, para cada punto \(p\in N^\epsilon\) existe un único punto más cercano a \(p\) en \(N\).

Más aún, si definimos la función \(\pi : N^\epsilon \rightarrow N\) de tal forma que \(\pi(p)\) es el punto más cercano de \(N\) a \(p\), entonces la función \(\pi\) es diferenciable, es una sumersión suprayectiva, y \(\pi|_N\) es la identidad.

Demostración de los teoremas de genericidad

En esta subsección terminaremos de demostrar las dos versiones del teorema de genericidad.

Demostración del teorema de genericidad para familias: Sean \(M\), \(N\) y \(S\) tres variedades. Sea \(Z\subseteq N\) una subvariedad. Sea \(F: M\times S \rightarrow N\) una familia de funciones parametrizada por \(S\). Queremos demostrar que el conjunto de puntos \(s\in S\) tales que \(F_s\) no es transversal a \(Z\) es un conjunto de medida cero.

Sea \(W = F^{-1}(Z)\), misma que es una subvariedad de \(M\times S\) pues \(F\) es transversal a \(Z\) y sea \(\pi|_W\) la restricción de la proyección \(\pi:M\times S\rightarrow S\) a la subvariedad \(W\).

Por el lema, podemos afirmar que el conjunto de puntos \(s\in S\) tales que \(F_s\) no es transversal a \(Z\) coincide con el conjunto de valores críticos de la función \(\pi|_W\).

Por otro lado, por el teorema de Sard, sabemos que el conjunto de valores críticos de cualquier transformación diferenciable entre variedades es de medida cero. Con esto podemos concluir que el conjunto de puntos \(s\in S\) tales que \(F_s\) no es transversal a \(Z\) es un conjunto de medida cero. ■

Como mencionamos con anterioridad, la demostración es una consecuencia sencilla del lema ya demostrado y el teorema de Sard.

Una vez demostrado el teorema para familias, solo nos restaría demostrar el teorema en su versión original. Para esto, la idea principal es encontrar una variedad de parámetros \(S\) adecuada, y una familia de funciones \(F\) que sea transversal a la variedad \(Z\).

Como veremos en el siguiente teorema, basta tomar a \(S\) como una bola abierta en un espacio euclideano de cierta dimenisión:

Teorema

Sea \(f: M\rightarrow N\) una transformación diferenciable con \(N\) una subvariedad de \(\mathbb R^n\). Entonce existe una familia de transformaciones \(F\) parametrizada Por \[S = \{v \in \mathbb R^n~|~ \lVert v \rVert <1\}\] tal que: \[F:M\times S \rightarrow N,\] \(F\) es una sumersión, y además \(F_0 = f\).

Demostración Sea \(\epsilon: N\rightarrow \mathbb R_{>0}\) una función positiva y diferenciable de tal forma que el conjunto \(N^\epsilon\) es una épsilon vecindad de \(N\). Sea \(p: N^\epsilon \rightarrow N\) la proyección.

Sea \(S\) la bola abierta de radio uno centrada en el origen de \(\mathbb R^n\).

Definimos la función \(g: M \times S \rightarrow \mathbb R^n\) como \(g(p, v) = f(p) + \epsilon(f(p))v\). Notemos que \(g(p,v)\) está a una distancia menor a \(\epsilon(f(p))\) de \(f(p)\), por lo que pertenece a \(N^\epsilon\).

Demostraremos que \(g\) es una sumersión. Para eso, sea \(q = (p, v)\) y sea \(w\in T_q\mathbb R^n\) un vector tangente arbitrario.

Sabemos que el tangente a \(\mathbb R^n\) se puede identificar con \(\mathbb R^n\) mismo, por lo que podemos asumir que \(w\in \mathbb R^n\) es un vector ordinario.

Definimos una curva mediante \(\gamma(t) = (p, v + \frac{t}{\epsilon(f(p))}w)\). Para \(t\) suficientemente pequeño \(\gamma(t)\) pertenece a \(M\times S\) y además \(\gamma(0)=(p,v)\), por lo que define un vector tangente en \(T_{(p,v)}M\times S\).

Calculemos \(T_{(p,v)}g(\dot\gamma(0))\): \[ \begin{align*} T_{(p,v)}g(\dot\gamma(0)) = & \frac{d}{dt}g\circ\gamma(t) \\ = & \frac{d}{dt} g(p, v + \frac{t}{\epsilon(f(p))}w)\\ = & \frac{d}{dt}\left[ f(p) + \epsilon(f(p))\left(v+\frac{t}{\epsilon(f(p))}w\right)\right]\\ = & \frac{d}{dt}\left[ f(p) + \epsilon(f(p))v+ tw\right]\\ = & \frac{d}{dt}\left[ g(p,v)+ tw\right]\\ = & w\ \end{align*} \] es decir, \(w\) está en la imagen de \(T_{(p,v)}g\), por lo que \(g\) es una sumersión.

Ahora bien, como \(p: N^\epsilon \rightarrow N\) es también una sumersión, la composición \(p\circ g\) es una sumersión. Es claro que si definimos \(F = p\circ g\), dicha función cumple las propiedades que se requerían.■

Corolario: Sea \(f: M\rightarrow N\) una transformación diferenciable con \(N\) una subvariedad de \(\mathbb R^n\). Entonce existe una familia de transformaciones \(F\) parametrizada Por \[S = \{v \in \mathbb R^n~|~ \lVert v \rVert <1\}\] tal que: \[F:M\times S \rightarrow N,\] \(F\) es transversal a cualquier subvariedad \(Z\subseteq N\).

Demostración Se sigue del teorema pues toda sumersión es transversal a cualquier subvariedad del codominio.■

Corolario: Sea \(f: M\rightarrow N\) una transformación diferenciable con \(N\) una subvariedad de \(\mathbb R^n\) y \(Z\subseteq N\) una subvariedad de \(N\). Entonce existe una homotopía \(h: M\times [0,1]\rightarrow N\) tal que \(h_0 = f\) y \(h_1\) es transversal a \(Z\).

Demostración Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que \(N\) es subvariedad de \(R^n\) con \(n>0\). Sea \(F: M\times S\rightarrow N\) como en el teorema. Entonces \(F\) es transversal a \(Z\) y por el teorema de genericidad para familias, podemos afirmar que el conjunto de puntos \(s\in S\) tales que \(F_s\) no es transveral a \(Z\) es un conjunto de medida cero. Como \(S\) es una bola abierta en \(\mathbb R^n\), no tiene medida cero, por lo que existe por lo menos un punto \(s_0 \in S\) tal que \(F_{s_0}\) es transversal a \(Z\). Definimos la homotopía como \(h(p, t) = F(p, ts_0)\). De esta forma \(h_0 = f \) y \(h_1 = F_{s_0}\) que es transversal a \(Z\).■

Finalmente, la demostración del teorema de genericidad será una aplicación sencilla del teorema de Fubini para conjuntos de medida cero.

Demostración del teorema de genericidad

Sea \(f: M\rightarrow N\) una transformación diferenciable y sea \(Z\subseteq N\) una subvariedad. Asumamos sin pérdida de generalidad que \(N\subseteq \mathbb R^{n+1}\) con \(n\in \mathbb N\). Queremos demostrar que existe una homotopía \(h: M\times [0,1]\rightarrow N\) tal que \(h_0 = f\) y para todo \(\epsilon> 0\) existe \(t<\epsilon\) tal que \(h_t\) es transversal a \(Z\).

Por el primer corolario, sabemos que existe una familia \(F: M\times S \rightarrow N\) tal que \(S\) es la bola abierta en \(\mathbb R^{n+1}\), \(F_0 = f\) y el conjunto de puntos \(s\in S\) tales que \(F_s\) no es transversal a \(Z\) es un conjunto de medida cero.

Sea \(X \subseteq S\) dicho conjunto de puntos y sea \(B = \{v\in \mathbb R^n ~|~ \lVert v\rVert < 1\}\) la bola abierta de radio 1 en \(\mathbb R^n\).

Consideremos la función \(g: S \rightarrow [0,1]\times B\) dada por: \[g(x) = (\lVert x\rVert, \pi_{\mathbb R^n}(x/\lVert x \rVert))\] donde \(\pi_{\mathbb R^n}\) es la proyección de \(\mathbb R^{n+1}\) en las primeras \(n\) coordenadas. Dicho de otra forma, la primera componente de \(g(x)\) es la norma de \(x\) y la segunda componente es la composición de normalizar el vector y proyectar en el hiperplano \(\mathbb R^n\times \{0\}\).

Es claro que \(g\) es diferenciable en \(S\setminus \{0\}\) y además \(g\) es un difeomorfismo entre \(S\cap \{(x_1, \ldots, x_n, x_{n+1})~|~ x_{n+1}>1\}\) y \((0,1)\times B\). Sea \(\tilde X = X \cap \{(x_1, \ldots, x_n, x_{n+1})~|~ x_{n+1}>1\}\).

Dado que la imagen de conjuntos de medida cero bajo transformaciones diferenciables es de medida cero, sabemos que \(g(\tilde X)\) es de medida cero.

Dado cualquier vector \(v\) de norma 1 en \(\mathbb R^{n+1}\) y un real \(\lambda \in (0,1)\), se cumple que \(g(\lambda v) = (\lambda, \pi_{\mathbb R^n}(v))\).

Demostraremos que existe por lo menos un vector \(v\) de norma 1 tal que \(g(\tilde X) \cap (0,1)\times\{\pi_{\mathbb R^n}(v)\}\) no contiene ningún intervalo de la forma \((0, \delta)\times \{v\}\). Esto implica que la intersección de \(\tilde X\) con el rayo generado por \(v\) no contiene ningun segmento \(\{\lambda v | \lambda \in (0, \delta)\}\).

Como \(g(\tilde X)\) tiene medida cero, podemos afirmar que \[\int_{(0,1)\times B} \chi_{g(\tilde X)} = 0\] donde \(\chi_{g(\tilde X)}\) es la función característica del conjunto \(g(\tilde X)\).

Por el teorema de Fubini para funciones Lebesgue integrables, tenemos:

\[\int_{(0,1)\times B} \chi_{g(\tilde X)} = \int_{B}\int_{(0,1)}\chi_{g(\tilde X)}(t, p) \,dt\, dp\] donde \(\int_{(0,1)}\chi_{g(\tilde X)}(t, v) dt\) está bien definida salvo para un conjunto de medida cero. Dado que la integral sobre todo el conjunto producto es cero, concluimos que la función \(p\mapsto \int_{(0,1)}\chi_{g(\tilde X)}(t, p) dt\) es cero salvo un conjunto de medida cero de \(B\).

En particular, podemos afirmar que existe un \(p\in B\) tal que \(\left((0,1)\times \{p\}\right)\cap g(\tilde X)\) es de medida cero con la medida de Lebesgue de \((0,1)\). Podemos tomar una sucesión decreciente \(\{t_i\}_{i\in \mathbb N} \in (0,1)\) tal que \(\lim t_i =0\), y además, \((t_i, p) \not \in g(\tilde X)\).

Sea \(v\in \{(x_1, \ldots, x_n, x_{n+1})~|~ x_{n+1}>1\}\) de norma 1 y tal que \(\pi_{\mathbb R^n}(v)=p\). Entonces se cumple que \(t_i v \not \in \tilde X\). Si definimos la homotopía \(h(x, t) = F(x, t/2 v)\) se cumple que \(h_0 = f\) y además \(h_{2t_i}\) es transversal a \(Z\) para todo \(t_i < 1/2\) por lo que \(h\) es la homotopía buscada. ■

Apéndice

Álgebra lineal

En este apéndice mencionaremos algunos resultados de álgebra lineal que utilizaremos frecuentemente.

En principio, son resultados básicos que en cualquier curso de álgebra lineal deberían cubrirse, aunque posiblemente el lenguaje o la formulación que daremos no sea tan común.

Por simplicidad, en lo que sigue asumiremos que todos los espacios vectoriales son reales y de dimensión finita.

Propiedad universal de las bases

Clasificación de espacios vectoriales y de transformaciones lineales

El resultado más importante del álgebra lineal es la clasificación salvo isomorfismo de los espacios vectoriales:

Teorema: el único invariante de un espacio vectorial es su dimensión. Es decir, dos espacios vectoriales \(V\) y \(W\) son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión.

Corolario Todo espacio vectorial es isomorfo a algún \(\mathbb R^n\) para algún \(n\in \mathbb N\).

No solo los espacios vectoriales son fáciles de clasficar, sino también las transformaciones lineales.

Recordemos antes algunas definiciones:

Sea \(T: V \rightarrow W\) una transformación lineal entre dos espacios vectoriales.

Definición Se define la nulidad de la transformación \(T\) como la dimensión del núcleo de \(T\). Por otro lado, el rango de \(T\) se define como la dimensión de la imagen de la transformación.

Notemos que la nulidad siempre es menor o igual que la dimensión del dominio, y el rango siempre es menor o igual que la dimensión del codominio.

Teorema (de la nulidad y el rango): Dada cualquier transformación lineal \(T: V\rightarrow W \) se cumple la igualdad: \[ \text{nulidad}(T) + \text{rango}(T) = \text{dim}(V)\]

Corolario El rango satisface: \[\text{rango}(T) \leq \min \{\text{dim}(V), \text{dim}(W)\}\]

Para poder clasificar las transformaciones lineales, es necesario primero definir una noción adecuada de equivalencia:

Definición: Decimos que dos transformaciones lineales \[T_1: V_1 \rightarrow W_1\] \[T_2: V_2 \rightarrow W_2\] son equivalentes si existen dos isomorfismos lineales \[\varphi: V_1 \rightarrow V_2\] y \[\psi: W_1 \rightarrow W_2\] tales que el siguiente diagrama conmuta: \[ \require{amscd} \begin{CD} V_1 @>{T_1}>> W_1\\ @V{\varphi}VV @VV{\psi}V \\ V_2 @>>{T_2}> W_2 \end{CD} \]

Con esto, podemos enunciar el teorema de clasificación de transformaciones lineales:

Teorema Los únicos invariantes de una transformación lineal son las dimensiones del dominio y del codominio, así como el rango de la transformación.

Dicho de otro modo, dos transformaciones lineales \[T_1: V_1 \rightarrow W_1\] \[T_2: V_2 \rightarrow W_2\] son equivalentes si y solo si: \[\text{dim}(V_1) = \text{dim}(V_2)\] \[\text{dim}(W_1) = \text{dim}(W_2)\] y \[\text{rango}(T_1) = \text{rango}(T_2)\]

Corolario Cualquier transformación lineal \(T: V \rightarrow W\) es equivalente a una transformación \[f: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m\] dada por \[ f(x_1, \ldots, x_k, x_{k+1}, \ldots, x_n) = (x_1, \ldots, x_k, 0, \ldots, 0)\] donde \(k\) es el rango de \(T\).

Grasmanianos

Algunos grupos de matrices

El grupo general lineal

El grupo ortogonal

El grupo unitario

Topología general

En este apéndice resumimos algunas de las definiciones y resultados más importantes de la topología general.

Definiciones básicas

Grosso modo, la topología estudia aquellas propiedades que se preservan bajo transformaciones continuas. Es claro que para que esta afirmación tenga sentido, es necesario definir una clase de objetos matemáticos en los cuales tenga sentido hablar de continuidad:

Espacios topologicos

Definición: Un espacio topológico es una pareja \((X, \tau)\) donde \(X\) es un conjunto arbitrario y \(\tau\) es una familia de subconjuntos de \(X\) que satisface las siguientes propiedades:

  • el conjunto vacío y el conjunto total pertenecen a \(\tau\): \[\emptyset \in \tau\] \[X\in \tau\]
  • \(\tau\) es cerrada bajo uniones arbitrarias: si \(\{U_\alpha\} \) es una familia de elementos de \(\tau\) entonces \[\bigcup_\alpha U_\alpha \in \tau\]
  • \(\tau\) es cerrada bajo intersecciones finitas: si \( \{U_i\} _{i=0}^n \) es una familia finita de elementos de \(\tau\) entonces \[\bigcup_{i=0}^n U_i \in \tau\]

Se dice que \(\tau\) es una topología sobre el conjunto \(X\) y a sus elementos se les llama abiertos de \(X\).

Funciones continuas

Definición: Dados dos espacios topologicos \( (X_1, \tau_1) \) y \( (X_2, \tau_2) \) una función continua es una función \(f:X_1 \rightarrow X_2\) que cumple que para cualquier abierto \(U\in \tau_2\) de \(X_2\) la preimagen es un abierto de \(X_1\): \(f^{-1}(U) \in \tau_1\).

Definición Un homeomorfismo es una función continua invertible, cuya inversa es también continua.

Construcciones de espacios topologicos

Espacio cociente

Producto cartesiano

Unión ajena

Propiedades de espacios topologicos

Axiomas de separación

Axiomas de numerabilidad

Compacidad

Homotopía

Cálculo vectorial

Nociones básicas de calculo vectorial

Derivada direccional

Derivada como mejor aproximación lineal

Derivadas parciales y matriz jacobiana

Teorema de la función inversa

EDOs y flujos

Definición Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias autónomo y de primer orden está determinado por una función: \[V: \mathcal U \rightarrow \mathbb R^n\] donde \(\mathcal U\) es un abierto de \(\mathbb R^n\).

Una solución de dicho sistema con condición inicial \(x_0\in \mathcal U\) es una función diferenciable \(\gamma : (a,b) \rightarrow \mathcal U\) que satisface:

  • \(\gamma(0) = x_0\)
  • \(\frac{d\gamma}{dt}(t) = V(\gamma(t)))\) para todo \(t\in (a,b)\)

Usualmente las condiciones anteriores se expresan en coordenadas obteniendo las siguientes ecuaciones:

\[\begin{align} x_i(0) & = & (x_0)_i \\ \dot{x}_1(t) & = & V_1(x_1(t), \ldots, x_n(t)) \\ \vdots ~~ & = & \vdots \\ \dot{x}_n(t) & = & V_n(x_1(t), \ldots, x_n(t)) \\ \end{align} \]

También diremos que \(V\) es un campo vectorial sobre el abierto \(\mathcal U\) y que \(\gamma\) es una curva integral del campo.
Un campo vectorial sobre un abierto de \(\mathbb R^2\)

El teorema más importante en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias es el que establece la existencia, unicidad y diferenciabilidad de las soluciones.

Teorema

Dado un campo vectorial \(V: \mathcal U \rightarrow \mathbb R^n\) y dado un punto \(p\in \mathcal U\) existe una transformación diferenciable \( \Gamma : \mathcal V \times (a,b) \rightarrow \mathcal U\) donde \(\mathcal V\) es un abierto de \(\mathcal U\) y \((p, 0) \in \mathcal V \times (a,b)\) que cumple:

  • \(\Gamma (q, 0) = q\) para todo \(q\in \mathcal V\)
  • la curva \(\Gamma(q, t)\) con \(q\) fija es curva integral de \(V\) con condición inicial dada por \(q\).

Además, si \(\gamma: (c,d) \rightarrow \mathcal U\) es cualquier curva integral de \(V\) y \(p_0 = \gamma(0) \in \mathcal V\) entonces \(\gamma\) coincide con \(\Gamma(p_0,t)\) en la intersección de sus dominios.

Hay dos maneras de interpretar la función \(\Gamma\):

  • para un punto dado \(p_0 \in \mathcal V\) la función \(\Gamma(p_0, t)\) es una curva (de hecho una curva integral)
  • para un tiempo dado \(t_0\in (a,b) \) la función \(\Gamma(q, t_0)\) es una transformación de \(\mathcal V \) en \(\mathcal U\), así podemos pensar que \(\Gamma\) es una familia uniparamétrica de transformaciones diferenciales, donde además en el instante cero es la inclusión de \(\mathcal V\) en \(\mathcal U\).

Notemos que si \(\Gamma(p, s) \in \mathcal U\) y para \(t\) pequeño, las dos curvas \(\Gamma(p, s + t)\) y \(\Gamma(\Gamma(p, s), t)\) son curvas integrales del campo y ambas tienen condición inicial dada por \(\Gamma(p, s)\) por lo que por la unicidad de las soluciones, son iguales.

Combinando este hecho con el teorema anterior, se puede demostrar:

Teorema

Dado un campo vectorial \(V: \mathcal U \rightarrow \mathbb R^n\) existe un abierto \(\mathcal W \subseteq \mathcal U \times \mathbb R\) tal que \(\mathcal U \times \{0\} \subseteq \mathcal W\) y una transformación diferenciable \( \Gamma : \mathcal W \rightarrow \mathcal U\) que cumple:

  • \(\Gamma (q, 0) = q\) para todo \(q\in \mathcal U\)
  • la curva \(\Gamma(q, t)\) con \(q\) fija es curva integral de \(V\) con condición inicial dada por \(q\).
  • \(\Gamma(p, s + t) = \Gamma(\Gamma(p, s), t)\) siempre que ambos lados estén definidos

Además, la intersección \(\{p_0\}\times \mathbb R \cap \mathcal W\) es de la forma \(\{p_0\} \times I\) donde \(I\) es un intervalo posiblemenete infinito y es el máximo intervalo en donde existe la solución a la ecuación diferencial con condición inicial \(p_0\).

Definición A una transformación \(\Gamma : \mathcal W \rightarrow \mathcal U\) que cumpla las propiedades del teorema anterior se le llama flujo local. Si el conjunto \(\mathcal W\) es todo \(\mathcal U \times \mathbb R\) decimos que es un flujo global o simplemente flujo.

Bibliografía

La topología diferencial es un área muy basta de la matemática moderna, de tal forma que existe una amplia oferta de libros de texto y artículos de divulgación e investigación que facilmente pueden formar parte de la bibliografía de un curso.

En este caso, tomaremos dos referencias principales:

Referencias principales

  • [GP] Guillemin, Victor, and Alan Pollack. Differential topology. Vol. 370. American Mathematical Soc., 2010.
  • [BJ] Bröcker, Theodor, and Klaus Jänich. Introduction to differential topology. Cambridge University Press, 1982.

Además de esto, las siguientes referencias son igual de importantes y perfectamente podrían ser la base del curso. El que hayamos escogido las dos anteriores como referencias principales es más una cuestion de preferencia de que de contenido.

Referencias adicionales

  • Spivak, Michael. Cálculo en variedades. Reverté, 2021.
  • Tu, Loring W. An Introduction to Manifolds. New York, NY: Springer New York, 2011.
  • Milnor, John. Topology from the differentiable viewpoint. Vol. 21. Princeton university press, 1997.
  • Vasil'ev, V. A. Introduction to topology Student mathematical library, Volume 14. American Mathematical Society, 2001.

Finalmente, enlistamos algunas referencias que ya son algo más avanzadas para un primer curso, pero que son perfectamente accesibles hacia el final del curso, o para un segundo curso de topología diferencial. También agregamos algunas referencias que pueden servir como punto de partida para algún área en específico de lo que generalmente se denomina «Geometría y topología diferencial».

Referencias avanzadas

  • Spivak, Michael. A comprehensive introduction to differencial geometry. Publish or Perish, 1979.
  • Hirsch, Morris W. Differential topology. Vol. 33. Springer Science & Business Media, 2012.
  • Bott, Raoul, and Loring W. Tu. Differential forms in algebraic topology. Vol. 82. New York: Springer, 1982.
  • Golubitsky, Martin, and Victor Guillemin. Stable mappings and their singularities. Vol. 14. Springer Science & Business Media, 2012.
  • Lee, Jeffrey M., et al. Manifolds and differential geometry. Topology 643 (2009): 658.

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