Definición

Motivados por el ejemplo anterior, definimos el espacio tangente para una variedad arbitraria en un punto dado:

Definición: Dada una k-variedad \(X\) en \(\mathbb R^n\) y dado un punto \(p \in X\) definimos el espacio tangente \(T_pX\) como sigue:

Dado que \(X\) es una variedad de \(\mathbb R^n\) existe un abierto \(\mathcal U\) de \(\mathbb R^n\) que es vecindad de \(p\) y una función \(f: \mathcal U \rightarrow \mathbb R^{n-k}\) que es una sumersión y tal que \(X \cap \mathcal U = f^{-1}(0)\). Es decir, localmente \(X\) es un conjunto de nivel de la función \(f\).

Entonces definimos: \[ T_pX : = \operatorname{Nuc}(D_pf) \]

Es menester hacer algunas observaciones: dado que la función \(f\) es una sumersión, su diferencial es suprayectiva. Dado que el dominio tiene dimensión \(n\) y el codominio tiene dimensión \(n-k\) el núcleo (es decir, el espacio tangente) tiene dimensión \(k\), que es algo razonable pues la dimensión de \(X\) es \(k\).