Genericidad de la transversalidad

La contraparte de la noción de estabilidad, es la genericidad. Intuitivamente, diremos que una propiedad de funciones diferenciables es genérica, cuando cualquier función diferenciable esté «arbitrariamente cerca» de una función que cumple la propiedad.

Alternativamente, también podríamos decir que una propiedad es genérica, cuando cualquier función diferenciable se puede aproximar por funciones que cumplen la propiedad.

Hay varias maneras de formalizar este concepto. La versión que nos será util es la siguiente:

Definición Sean \(M\) y \(N\) dos variedades diferenciables. Diremos que una propiedad P de funciones diferenciables de \(M\) a \(N\) es genérica cuando dada cualquier función diferenciable \(f: M \rightarrow N\) existe una homotopía diferenciable \(h: M \times [0,1]\rightarrow N\) tal que para todo \(\epsilon > 0\) existe \(t<\epsilon\) tal que \(h_t\) cumple la propiedad P.

Al igual que en el caso de la estabilidad, si dotáramos de una topología adecuada al conjunto \(C^\infty(M, N)\), podríamos decir que una propiedad P es genérica precísamente cuando \(C^\infty(M, N)_P\) es un conjunto denso.

El resultado principal de esta sección es el siguiente teorema:

Teorema (de genericidad)

Sean \(M\) y \(N\) dos variedades. Sea \(Z\subseteq N\) una subvariedad.

La propiedad «ser transversal a Z» es una propiedad genérica de las funciones diferenciables de \(M\) a \(N\).

La demostración de este teorema requerirá de varios lemas y proposiciones que son interesantes en sí mismas.

Lo primero será dar una generalización del concepto de homotopía. Podríamos decir que una homotopía es una familia uniparamétrica¹ de funciones diferenciales.

Si extendemos este concepto a familias de varios parámetros, llegamos a la siguiente definición:

Definición Si \(S\) es un subconjunto de una variedad, y \(M\) y \(N\) son variedades, una familia diferenciable de funciones de \(M\) a \(N\), parametrizada por \(S\) es una función diferenciable \(F: M\times S \rightarrow N\). Para cada \(s\in S\) denotaremos por \(F_s\) a la restricción de \(F\) al conjunto \(M\times\{s\}\), mismo que identificaremos con \(M\).

Además de esta noción, precisaremos del concepto de medida cero para subconjuntos de variedades arbitrarias.

Definición Sea \(M\) una n-variedad y sea \(C\subseteq M\) un subconjunto arbitrario. Decimos que \(C\) tiene medida cero si para cualquier carta coordenada \(\phi: \mathcal U \rightarrow \mathbb R^n\) de la variedad \(M\), el conjunto \(\phi(C\cap \mathcal U)\) es un subconjunto de medida cero de \(\mathbb R^n\).

Para la definición de medida cero en el espacio euclideano, y para los resultados fundamentales sobre este concepto, referimos al lector al apéndice.

Con estas dos nociones podemos enunciar el siguiente teorema, mismo que nos permitirá deducir el teorema de genericidad:

Teorema (de genericidad para familias de funciones)

Sean \(M\), \(N\) y \(S\) tres variedades. Sea \(Z\subseteq N\) una subvariedad. Sea \(F: M \times S \rightarrow N\) una familia de funciones parametrizada por \(S\). Si la función \(F\) es transversal a \(Z\), entonces salvo por un conjunto de medida cero, para todo \(s\in S\), la función \(F_s\) es transversal a \(Z\).

A su vez, este teorema lo obtendremos como consecuencia de un lema que enunciamos a continuación, y del Teorema de Sard que tiene un interés propio y dejaremos para la subsección siguiente.

Lema:

Sean \(M\), \(N\) y \(S\) tres variedades. Sea \(Z\subseteq N\) una subvariedad. Sea \(F: M \times S \rightarrow N\) una familia de funciones parametrizada por \(S\), y sea \(\pi\) la proyección de \(M\times S\) sobre \(S\). Supongamos que \(F\) es transversal a \(Z\) y sea \(W = F^{-1}(Z)\). Si \(s\in S\) es un valor regular de \(\pi|_W\), la restricción de \(\pi\) a la subvariedad \(W\), entonces la función \(F_s\) es transversal a \(Z\).

Demostración Supongamos que \(F\) es transversal a \(Z\) y que \(s\in S\) es un valor regular de \(\pi|_W\). Demostremos que \(F_s\) es transversal a \(Z\). Para esto, sea \(p \in M\) tal que \(F_s(p) \in Z\). Esto es equivalente a que \((p,s) \in W\).

Llamémosle \(q = F(p,s)\).

Queremos demostrar que \[\operatorname{im}(T_pF_s) + T_{q}Z = T_{q}N.\]

Dado que \(F\) es transversal a \(Z\), sabemos que: \[\operatorname{im}(T_{(p, s)}F) + T_{q}Z = T_{q}N\]

Sea \(v_N \in T_{q}N\) un vector arbitrario. Por la igualdad anterior, podemos afirmar la existencia de dos vectores \(v_{M\times S} \in T_{(p,s)}M\times S\) y \(v_Z \in T_{q}Z\) tales que: \[T_{(p,s)}F(v_{M\times S}) + v_Z = v_N,\] además, sabiendo que el espacio tangente de un producto se descompone como suma directa de los espacios tangentes correspondientes, tenemos que: \[T_{(p,s)}M\times S = T_{(p,s)}M \oplus T_{(p,s)}S,\] por lo que existen dos vectores \(v_M \in T_{(p,s)}M\) y \(v_S \in T_{(p,s)}S\) tales que \[v_M + v_S = v_{M\times S}.\]

Por otro lado, podemos identificar \(T_{(p,s)}S\) con \(T_sS\) mediante la diferencial de la proyección \(\pi\). Como \(s\) es un valor regular, de \(\pi|_W\), podemos afirmar la existencia de un vector \(v_W \in T_{(p,s)}W\) tal que \(T_{(p,s)}\pi (v_W) = v_S\). Es decir, \(v_{M\times S}\) y \(v_W\) tienen la misma componente en la dirección de \(S\).

Si consideramos al vector \(v_{M\times S} - v_W\), podemos ver que este vector pertenece a \(T_{(p,s)}M\), pues por la observación anterior, su compoente en \(T_{(p,s)}S\) es cero.

Al calcular la diferencial de \(F\) en dicho vector, obtenemos: \[T_{(p,s)}F (v_{M\times S} - v_W) = T_{p}F_s (v_{M\times S} - v_W)\] sin embargo, usando la linealidad de la diferencial, y el hecho de que \[T_{(p,s)}W = T_{(p,s)}F^{-1}(T_{q}Z),\] podemos deducir que: \[T_{p}F_s (v_{M\times S} - v_W) = T_{(p,s)}F (v_{M\times S}) - T_{(p,s)}F(v_W) = T_{(p,s)}F (v_{M\times S}) - w_z \] para algún vector \(w_z \in T_qZ\).

Así, sustituyendo en la primera ecuación, tenemos: \[\begin{align*} v_N = & T_{(p,s)}F(v_{M\times S}) + v_Z \\ = & T_{(p,s)}F(v_{M\times S}) -w_Z + w_Z+ v_Z \\ = & T_{(p,s)}F(v_{M\times S} - v_W) + w_Z+ v_Z \\ = & T_pF_s(v_{M\times S} - v_W) + w_Z+ v_Z \\ \end{align*} \] en esta última igualdad expresamos a \(v_N\) como suma de \(T_pF_s(v_{M\times S} - v_W)\) que es un vector en \(\operatorname{im}(T_pF_s)\) y de \(w_z + v_Z\) que es un vector en \(T_qZ\). Como \(v_N\) era un vector arbitrario de \(T_qN\), podemos concluir: \[\operatorname{im}(T_pF_s) + T_{q}Z = T_{q}N,\] y \(F_s\) es transversal a \(Z\) como se quería demostrar.

Una vez demostrado este lema, el teorema de generícidad para familais de funciones se sigue inmediatamente del teorema de Sard.

Dejaremos los detalles de las demostracions para una subsección posterior.